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Savoir travailler avec les indices - Exercice 3

5 min
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COMPETENCE‾  :  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCE}\;:\;Calculer.}
Soit nn un entier naturel tel que n≥3n\ge3.
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=n22n−4u_{n} =\frac{n^{2} }{2n-4} .
Question 1

Exprimer, en fonction de nn, les expressions de un+1u_{n+1} et u2nu_{2n} .

Correction
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
On sait que un=n22n−4u_{n} =\frac{n^{2} }{2n-4} .
Pour obtenir un+1u_{n+1} il faut remplacer tous les termes en nn dans l'expression de unu_{n} par n+1n+1.
Il vient alors que :
un+1=(n+1)22(n+1)−4u_{n+1} =\frac{\left(n+1\right)^{2} }{2\left(n+1\right)-4}
un+1=n2+2n+12n+2−4u_{n+1} =\frac{n^{2} +2n+1}{2n+2-4}
un+1=n2+2n+12n−2u_{n+1} =\frac{n^{2} +2n+1}{2n-2}

D’une part :\red{\text{D'une part :}}
On sait que un=n22n−4u_{n} =\frac{n^{2} }{2n-4} .
Pour obtenir u2nu_{2n} il faut remplacer tous les termes en nn dans l'expression de unu_{n} par 2n2n.
Il vient alors que :
u2n=(2n)22×2n−4u_{2n} =\frac{\left(2n\right)^{2} }{2\times 2n-4}
u2n=4n24n−4u_{2n} =\frac{4n^{2} }{4n-4}

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