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Modéliser un énoncé à l'aide d'une suite récurrente - Exercice 4

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La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes en janvier 20212021 et a enregistré 25002 500 inscriptions en 20212021.
Elle estime que, chaque année, 80%80\% des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l’année suivante et qu’il y aura 400400 nouveaux adhérents.
On modélise cette situation par une suite numérique (an)\left(a_n\right) et ana_n représente le nombre d’inscrits à la médiathèque pendant l’année 2021+n2021+n.
Question 1

Exprimer an+1a_{n+1} en fonction de ana_n .

Correction
Pour déterminer un+1u_{n+1}, on prend 80%80\% de unu_n . Prendre 80%80\% revient à multiplier par 0,80,8. Puis on ajoute 400400 nouvelles inscriptions au résultat, ce qui donne 0,8un+4000,8u_n +400.
Donc, pour tout entier nn,
un+1=0,8un+400u_{n+1} = 0,8u_n +400

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