Premières notions sur les suites numériques

Exercices types : 33ème partie - Exercice 1

15 min
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Question 1
On considère la suite (Un)\left(U_{n}\right ) définie pour tout entier naturel nn, par Un=n+2n+1U_{n} =\frac{n+2}{n+1} .

Calculer U0,U1,U2U_{0}, U_{1}, U_{2} puis U99.U_{99}.

Correction
  • U0=0+20+1U_{0} =\frac{0+2}{0+1} donc U0=21=2U_{0}=\frac{2}{1}=2 ;
  • U1=1+21+1U_{1} =\frac{1+2}{1+1} donc U1=32=1,5U_{1}=\frac{3}{2}=1,5 ;
  • U2=2+22+1U_{2} =\frac{2+2}{2+1} donc U2=43U_{2}=\frac{4}{3} ;
  • U2=99+299+1U_{2} =\frac{99+2}{99+1} donc U99=101100=1,01U_{99}=\frac{101}{100}=1,01 ;
    • Question 2

    Exprimer, pour tout entier naturel nn , Un−1U_{n}-1 en fonction de nn .

    Correction
    Pour tout entier naturel nn :
    Un−1=n+2n+1−1 U_{n} - 1=\frac{n+2}{n+1}-1 équivaut successivement à :
    Un−1=n+2n+1−n+1n+1 U_{n} - 1=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n+1}
    Un−1=n+2−(n+1)n+1 U_{n} - 1=\frac{n+2-\left(n+1\right)}{n+1}
    Un−1=n+2−n−1n+1 U_{n} - 1=\frac{n+2-n-1}{n+1}
    Ainsi :
    Un−1=1n+1 U_{n} - 1= \frac{1}{n+1}
    Question 3

    Montrer que, pour tout entier naturel n,n, on a : Un+1−Un=−1(n+1)×(n+2)U_{n+1} - U_{n}=\frac{-1}{(n+1)\times(n+2)} .

    Correction
    Pour tout entier naturel n,n, nous savons que Un=n+2n+1U_{n} =\frac{n+2}{n+1}
    Ainsi :
    Un+1=n+1+2n+1+1U_{n+1} =\frac{n+1+2}{n+1+1} d'où : Un+1=n+3n+2U_{n+1} =\frac{n+3}{n+2}
    Il vient alors que :
    Un+1−Un=n+3n+2−n+2n+1 U_{n+1} - U_{n} =\frac{n+3}{n+2} - \frac{n+2}{n+1} . Nous allons tout mettre au même dénominateur.
    Un+1−Un=(n+3)(n+1)(n+2)(n+1)−(n+2)(n+2)(n+1)(n+2)U_{n+1} -U_{n} =\frac{\left(n+3\right)\left(n+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)} -\frac{\left(n+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}
    Un+1−Un=(n+3)(n+1)−(n+2)2(n+2)(n+1) U_{n+1} - U_{n} = \frac{(n+3)(n+1)-(n+2)^{2}}{(n+2)(n+1)}
    Un+1−Un=n2+n+3n+3−(n+4n+4)(n+2)(n+1) U_{n+1} - U_{n} = \frac{n^2+n+3n+3-(n+4n+4)}{(n+2)(n+1)}
    Un+1−Un=n2+n+3n+3−n2−4−4n(n+2)(n+1) U_{n+1} - U_{n} =\frac{n^2+n+3n+3-n^2-4-4n}{(n+2)(n+1)}
    Ainsi :
    Un+1−Un=−1(n+2)(n+1) U_{n+1} - U_{n} =\frac{-1}{(n+2)(n+1)}
    Question 4

    En déduire le sens de variation de la suite (Un)\left(U_{n}\right) .

    Correction
    D'après la question précédente, nous savons que Un+1−Un=−1(n+2)(n+1) U_{n+1} - U_{n} =\frac{-1}{(n+2)(n+1)} .
    • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
    • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
    • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
    Pour tout entier naturel nn , on vérifie aisément que n+1≥1>0n+1 \ge 1 > 0 et de même n+2≥2>0n+2 \ge 2 > 0.
    Il en résulte donc que le signe de −1(n+2)(n+1)\frac{-1}{(n+2)(n+1)} dépend alors du numérateur. Or −1<0-1<0 .
    De ce fait : Un+1−Un<0U_{n+1} − U_{n} < 0 .
    La suite (Un)\left(U_{n} \right) est décroissante.
    Question 5
    Soit aa un nombre réel dans l’intervalle ]1;2]]1 ; 2].

    Recopier et compléter sur la copie le programme Python suivant pour qu’il permette de déterminer le plus petit entier naturel nn tel que Un≤aU_{n} \le a, où aa est un nombre de l’intervalle ]1;2].]1; 2].
    Def seuil (a):(a) :
    n=0n = 0
    while     (n+2)/(n+1)     ...      a    \;\;(n+2) / (n+1)\;\;\ ... \;\;\; a\;\; :
    n=    ...n = \;\; ...
    return     ...\;\;...

    Correction
    Def seuil (a):(a) :
    n=0n = 0
    while     (n+2)/(n+1)     >      a    \;\;(n+2) / (n+1)\;\;\ {\color{red} >} \;\;\; a \;\; :
    n=    n+1n = \;\; {\color{red} n+1}
    return     n\;\;{\color{red} n}