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Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

20 min
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Question 1
Soit la suite numérique (un)\left(u_{n} \right) définie pour tout entier naturel nn non nul par un=2−n3+nu_{n} =\frac{2-n}{3+n}.

Etudier les variations de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
Pour tout entier naturel nn, on a :
un+1−un=2−(n+1)3+n+1−2−n3+nu_{n+1} -u_{n} =\frac{2-\left(n+1\right)}{3+n+1} -\frac{2-n}{3+n}
un+1−un=2−n−1n+4−2−n3+nu_{n+1} -u_{n} =\frac{2-n-1}{n+4} -\frac{2-n}{3+n}
un+1−un=−n+1n+4−2−n3+nu_{n+1} -u_{n} =\frac{-n+1}{n+4} -\frac{2-n}{3+n} . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
un+1−un=(−n+1)(3+n)(n+4)(3+n)−(2−n)(n+4)(n+4)(3+n)u_{n+1} -u_{n} =\frac{\left(-n+1\right)\left(3+n\right)}{\left(n+4\right)\left(3+n\right)} -\frac{\left(2-n\right)\left(n+4\right)}{\left(n+4\right)\left(3+n\right)}
un+1−un=(−n+1)(3+n)−(2−n)(n+4)(n+4)(3+n)u_{n+1} -u_{n} =\frac{\left(-n+1\right)\left(3+n\right)-\left(2-n\right)\left(n+4\right)}{\left(n+4\right)\left(3+n\right)}
un+1−un=−3n−n2+3+n−(2n+8−n2−4n)(n+4)(3+n)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-3n-n^{2} +3+n-\left(2n+8-n^{2} -4n\right)}{\left(n+4\right)\left(3+n\right)}
un+1−un=−n2−2n+3−(−n2−2n+8)(n+4)(3+n)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-n^{2} -2n+3-\left(-n^{2} -2n+8\right)}{\left(n+4\right)\left(3+n\right)}
un+1−un=−n2−2n+3+n2+2n−8(n+4)(3+n)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-n^{2} -2n+3+n^{2} +2n-8}{\left(n+4\right)\left(3+n\right)}
un+1−un=−5(n+4)(3+n)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-5}{\left(n+4\right)\left(3+n\right)}

Pour tout entier naturel nn, on vérifie aisément que n+4>0n+4>0 et 3+n>03+n>0 et −5<0-5<0.
Il en résulte donc que : un+1−un<0u_{n+1} -u_{n}<0. La suite (un)\left(u_{n} \right) est donc strictement décroissante.
Question 2

Montrer que pour tout entier naturel nn, on a : un≤23u_{n}\le \frac{2}{3}.

Correction
(un)\left(u_{n} \right) étant strictement décroissante , elle est donc majorée par son premier terme qui est ici u0u_{0}
Or : u0=2−03+0=23u_{0} =\frac{2-0}{3+0}=\frac{2}{3}.
Il vient alors que pour tout entier naturel nn, on a : un≤23u_{n}\le \frac{2}{3}
Question 3

Montrer, que pour tout entier naturel nn, on a : un=−1+53+nu_{n}=-1+\frac{5}{3+n}.

Correction
un=−1+53+nu_{n}=-1+\frac{5}{3+n} . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
un=−1×(3+n)3+n+53+nu_{n} =\frac{-1\times \left(3+n\right)}{3+n} +\frac{5}{3+n} équivaut successivement à :
un=−3−n3+n+53+nu_{n} =\frac{-3-n}{3+n} +\frac{5}{3+n}
un=−3−n+53+nu_{n} =\frac{-3-n+5}{3+n}
un=2−n3+nu_{n} =\frac{2-n}{3+n}

Question 4

En déduire que la suite (un)\left(u_{n} \right) est bornée.

Correction
D'après la question 33, nous avons vu que : un=−1+53+nu_{n}=-1+\frac{5}{3+n}
Or pour tout entier naturel nn, on vérifie facilement que 3+n3+n et ainsi 53+n>0\frac{5}{3+n}>0 et de ce fait 53+n−1>−1\frac{5}{3+n}-1>-1
Cela signifie donc que un>−1u_{n}>-1 qui indique que la suite (un)\left(u_{n} \right) est minorée par −1-1. D'après la question 22, nous savons que la suite (un)\left(u_{n} \right) est majorée par 23\frac{2}{3}.
Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n} \right) est bornée ce qui se traduit mathématiquement par l'inégalité :
−1<un≤23-1<u_{n}\le \frac{2}{3}

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