Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

Comme $$u_{n+1} =u_{n}+n+1$$ alors :
$$u_{1+1} =u_{1}+1+1$$
$$u_{2} =8+2$$

De plus :
$$u_{2+1} =u_{2}+2+1$$
$$u_{3} =10+3$$

Comme $$v_{n} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$$ alors on a :

$$v_{1} =\frac{1}{2}\times 1^{2}+\frac{1}{2}\times 1$$ ainsi :
$$v_{2} =\frac{1}{2}\times 2^{2}+\frac{1}{2}\times 2$$ ainsi :
$$v_{3} =\frac{1}{2}\times 3^{2}+\frac{1}{2}\times 3$$ ainsi :

On sait que : $$v_{n} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$$.
$$\red{\text{Ainsi :}}$$
$$v_{n+1} =\frac{1}{2} \left(n+1\right)^{2} +\frac{1}{2} \left(n+1\right)$$
$$v_{n+1} =\frac{1}{2} \left(n^{2}+2n+1\right) +\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$$
$$v_{n+1} =\frac{1}{2}n^{2}+n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$$
Ainsi :
Or nous voulons montrer que pout tout entier naturel $$n$$, on a : $$v_{n+1} =v_{n}+n+1$$
Il vient alors que :
$$v_{n+1} =v_{n}+n+1$$
$$v_{n+1} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+n+1$$
Finalement :
Il en résulte que pout tout entier naturel $$n$$, on a : $$v_{n+1} =v_{n}+n+1$$

Les suites $$\left(u_{n} \right)$$ et $$\left(v_{n} \right)$$ ne sont pas confondues car $$u_{1} \ne v_{1}$$ et $$u_{2} \ne v_{2}$$ .

$$w_{1} =u_{1}-v_{1}$$ d'où :
$$w_{1} =u_{2}-v_{2}$$ d'où :
$$w_{1} =u_{3}-v_{3}$$ d'où :
Les valeurs $$u_{1}$$; $$u_{2}$$; $$u_{3}$$; $$v_{1}$$; $$v_{2}$$ et $$v_{3}$$ ont été calculées lors des questions précédentes.

$$w_{n+1} -w_{n} =u_{n+1} -v_{n+1} -\left(u_{n} -v_{n} \right)$$
$$w_{n+1} -w_{n} =u_{n+1} -v_{n+1} -u_{n} +v_{n}$$
Or : $$u_{n+1} =u_{n}+n+1$$ et $$v_{n+1} =v_{n}+n+1$$.
Ce qui nous donne :
$$w_{n+1} -w_{n} =u_{n}+n+1 -v_{n}-n-1 -u_{n} +v_{n}$$
AInsi :

D'après les hypothèses, on a :
$$w_{n}=7$$ or $$w_{n} =u_{n}-v_{n}$$ ce qui nous donne :
$$u_{n}-v_{n}=7$$
$$u_{n}=v_{n}+7$$ or $$v_{n} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$$.
Il vient alors que :

$$u_{n}\ge 1000$$ s'écrit également : $$\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+7\ge 1000$$
Ici nous n'allons pas résoudre algébriquement cette inéquation. Nous allons utiliser la calculatrice. Pour cela, il vous faut entrer l'expression $$\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+7$$ et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang nous avons une valeur supérieur à $$1000$$.
Nous avons les données suivantes :

• lorsque $$n=44$$ nous obtenons $$997$$
• lorsque $$n=45$$ nous obtenons $$1042$$

Ainsi le plus petit entier $$n_{0}$$ tel que : $$u_{n}\ge 1000$$ est alors $$n_{0}=45$$.

$$u_{n}\ge 10000$$ s'écrit également : $$\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+7\ge 10000$$
Ici nous n'allons pas résoudre algébriquement cette inéquation. Nous allons utiliser la calculatrice. Pour cela, il vous faut entrer l'expression $$\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+7$$ et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang nous avons une valeur supérieur à $$10000$$.
Nous avons les données suivantes :

• lorsque $$n=140$$ nous obtenons $$9877$$
• lorsque $$n=141$$ nous obtenons $$10018$$

Ainsi le plus petit entier $$n_{1}$$ tel que : $$u_{n}\ge 10000$$ est alors $$n_{1}=141$$.

On peut conjecturer que la limite de la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est alors $$+\infty$$.

Nous remplissons le tableau en replcannt les pointillés par les réponses :