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Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

35 min
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Question 1
Soit la suite numérique (un)\left(u_{n} \right) définie par u1=8u_{1} =8 et pour tout entier naturel nn non nul , un+1=un+n+1u_{n+1} =u_{n}+n+1.

Calculer u2u_{2} et u3u_{3}.

Correction
Comme un+1=un+n+1u_{n+1} =u_{n}+n+1 alors :
u1+1=u1+1+1u_{1+1} =u_{1}+1+1
u2=8+2u_{2} =8+2
u2=10u_{2} =10

De plus :
u2+1=u2+2+1u_{2+1} =u_{2}+2+1
u3=10+3u_{3} =10+3
u3=13u_{3} =13
Question 2
Soit la suite numérique (vn)\left(v_{n} \right) définie pour tout entier naturel nn non nul par : vn=12n2+12nv_{n} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n.

Calculer v1v_{1} ; v2v_{2} et v3v_{3}.

Correction
Comme vn=12n2+12nv_{n} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n alors on a :

v1=12×12+12×1v_{1} =\frac{1}{2}\times 1^{2}+\frac{1}{2}\times 1 ainsi :
v1=1v_{1} =1

v2=12×22+12×2v_{2} =\frac{1}{2}\times 2^{2}+\frac{1}{2}\times 2 ainsi :
v2=3v_{2} =3

v3=12×32+12×3v_{3} =\frac{1}{2}\times 3^{2}+\frac{1}{2}\times 3 ainsi :
v3=6v_{3} =6
Question 3

Montrer que pour tout entier naturel nn non nul, on a : vn+1=vn+n+1v_{n+1} =v_{n}+n+1.

Correction
On sait que : vn=12n2+12nv_{n} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n.
Ainsi :\red{\text{Ainsi :}}
vn+1=12(n+1)2+12(n+1)v_{n+1} =\frac{1}{2} \left(n+1\right)^{2} +\frac{1}{2} \left(n+1\right)
vn+1=12(n2+2n+1)+12n+12v_{n+1} =\frac{1}{2} \left(n^{2}+2n+1\right) +\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}
vn+1=12n2+n+12+12n+12v_{n+1} =\frac{1}{2}n^{2}+n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}
Ainsi :
vn+1=12n2+32n+1v_{n+1} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{3}{2}n+1

Or nous voulons montrer que pout tout entier naturel nn, on a : vn+1=vn+n+1v_{n+1} =v_{n}+n+1
Il vient alors que :
vn+1=vn+n+1v_{n+1} =v_{n}+n+1
vn+1=12n2+12n+n+1v_{n+1} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+n+1
Finalement :
vn+1=12n2+32n+1v_{n+1} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{3}{2}n+1

Il en résulte que pout tout entier naturel nn, on a : vn+1=vn+n+1v_{n+1} =v_{n}+n+1
Question 4

Les suites (un)\left(u_{n} \right) et (vn)\left(v_{n} \right) sont-elles confondues?

Correction
Les suites (un)\left(u_{n} \right) et (vn)\left(v_{n} \right) ne sont pas confondues car u1v1u_{1} \ne v_{1} et u2v2u_{2} \ne v_{2} .
Question 5
Soit la suite numérique (wn)\left(w_{n} \right) définie pour tout entier naturel nn non nul par : wn=unvnw_{n} =u_{n}-v_{n}.

Calculer w1w_{1} ; w2w_{2} et w3w_{3}.

Correction
w1=u1v1w_{1} =u_{1}-v_{1} d'où :
w1=7w_{1} =7

w1=u2v2w_{1} =u_{2}-v_{2} d'où :
w2=7w_{2} =7

w1=u3v3w_{1} =u_{3}-v_{3} d'où :
w3=7w_{3} =7

Les valeurs u1u_{1}; u2u_{2}; u3u_{3}; v1v_{1}; v2v_{2} et v3v_{3} ont été calculées lors des questions précédentes.
Question 6

Montrer que pour tout entier naturel nn non nul , on a : wn+1wn=0w_{n+1}-w_{n}=0

Correction
wn+1wn=un+1vn+1(unvn)w_{n+1} -w_{n} =u_{n+1} -v_{n+1} -\left(u_{n} -v_{n} \right)
wn+1wn=un+1vn+1un+vnw_{n+1} -w_{n} =u_{n+1} -v_{n+1} -u_{n} +v_{n}
Or : un+1=un+n+1u_{n+1} =u_{n}+n+1 et vn+1=vn+n+1v_{n+1} =v_{n}+n+1.
Ce qui nous donne :
wn+1wn=un+n+1vnn1un+vnw_{n+1} -w_{n} =u_{n}+n+1 -v_{n}-n-1 -u_{n} +v_{n}
AInsi :
wn+1wn=0w_{n+1}-w_{n}=0
Question 7
On a ainsi prouvé que la suite wnw_{n} est constante. Pour tout entier naturel nn non nul, on a : wn=7w_{n}=7.

En déduire , que pour tout entier naturel nn non nul : un=12n2+12n+7u_{n} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+7.

Correction
D'après les hypothèses, on a :
wn=7w_{n}=7 or wn=unvnw_{n} =u_{n}-v_{n} ce qui nous donne :
unvn=7u_{n}-v_{n}=7
un=vn+7u_{n}=v_{n}+7 or vn=12n2+12nv_{n} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n.
Il vient alors que :
un=12n2+12n+7u_{n} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+7
Question 8

A l'aide de la formule de la question 77 et en utilisant la calculatrice déterminer le plus petit entier n0n_{0} tel que : un1000u_{n}\ge 1000

Correction
un1000u_{n}\ge 1000 s'écrit également : 12n2+12n+71000\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+7\ge 1000
Ici nous n'allons pas résoudre algébriquement cette inéquation. Nous allons utiliser la calculatrice. Pour cela, il vous faut entrer l'expression 12n2+12n+7\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+7 et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang nous avons une valeur supérieur à 10001000.
Nous avons les données suivantes :
  • lorsque n=44n=44 nous obtenons 997997
  • lorsque n=45n=45 nous obtenons 10421042
Ainsi le plus petit entier n0n_{0} tel que : un1000u_{n}\ge 1000 est alors n0=45n_{0}=45.
Question 9

A l'aide de la formule de la question 77 et en utilisant la calculatrice déterminer le plus petit entier n1n_{1} tel que : un10000u_{n}\ge 10000

Correction
un10000u_{n}\ge 10000 s'écrit également : 12n2+12n+710000\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+7\ge 10000
Ici nous n'allons pas résoudre algébriquement cette inéquation. Nous allons utiliser la calculatrice. Pour cela, il vous faut entrer l'expression 12n2+12n+7\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+7 et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang nous avons une valeur supérieur à 1000010000.
Nous avons les données suivantes :
  • lorsque n=140n=140 nous obtenons 98779877
  • lorsque n=141n=141 nous obtenons 1001810018
Ainsi le plus petit entier n1n_{1} tel que : un10000u_{n}\ge 10000 est alors n1=141n_{1}=141.
Question 10

Quelle semble être la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right)?

Correction
On peut conjecturer que la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right) est alors ++\infty.
Question 11
Soit AA un nombre réel. Compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche la plus petite valeur de nn telle que unAu_{n}\ge A.

VARIABLES
nn est un entier naturel
uu et AA sont des nombres réels
INITIALISATION
nn prend la valeur 11
uu prend la valeur 88
TRAITEMENT
Tant que .........
   nn prend la valeur ...........
   uu prend la valeur u+n+1u+n+1
Fin tant que
SORTIE
Afficher ............

Correction
Nous remplissons le tableau en replcannt les pointillés par les réponses :
VARIABLES
nn est un entier naturel
uu et AA sont des nombres réels
INITIALISATION
nn prend la valeur 11
uu prend la valeur 88
TRAITEMENT
Tant que u<A\red{u<A}
   nn prend la valeur n+1\red{n+1}
   uu prend la valeur u+n+1\red{u+n+1}
Fin tant que
SORTIE
Afficher n\red{n}