Soit
n un entier naturel non nul, c'est à dire
n≥1. Il en résulte donc que
4n≥4⇔4n−1≥3 et donc
4n−1>0. De plus, pour tout entier naturel
n non nul, on a :
2n>0Il en résulte donc que pour tout entier naturel
n non nul, on peut conclure que :
un>0.
Nous pouvons alors calculer
unun+1−1.
unun+1−1=2n+4n−12n+1+4×(n+1)−1−1 équivaut successivement à :
unun+1−1=2n+4n−12n+1+4n+4−1−1unun+1−1=2n+4n−12n+1+4n+3−1 . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
unun+1−1=2n+4n−12n+1+4n+3−2n+4n−12n+4n−1unun+1−1=2n+4n−12n+1+4n+3−(2n+4n−1)unun+1−1=2n+4n−12n+1+4n+3−2n−4n+1 unun+1−1=2n+4n−12n+1−2n+4 unun+1−1=2n+4n−12n×2−2n+4 unun+1−1=2n+4n−12n×(2−1)+4 unun+1−1=2n+4n−12n+4