Premières notions sur les suites numériques

Exercices types : 11ère partie - Exercice 4

15 min
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Question 1
Soit nn un entier naturel.
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=n+1u_{n} =\sqrt{n+1}.

Déterminer le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
un+1−un=n+2−n+1u_{n+1} -u_{n} =\sqrt{n+2} -\sqrt{n+1}
un+1−un=(n+2−n+1)(n+2+n+1)n+2+n+1u_{n+1} -u_{n} =\frac{\left(\sqrt{n+2} -\sqrt{n+1} \right)\left(\sqrt{n+2} +\sqrt{n+1} \right)}{\sqrt{n+2} +\sqrt{n+1} } . Ici, nous avons multiplié par l'expression conjuguée.
un+1−un=(n+2)2−(n+1)2n+2+n+1u_{n+1} -u_{n} =\frac{\left(\sqrt{n+2} \right)^{2} -\left(\sqrt{n+1} \right)^{2} }{\sqrt{n+2} +\sqrt{n+1} }
un+1−un=n+2−(n+1)n+2+n+1u_{n+1} -u_{n} =\frac{n+2-\left(n+1\right)}{\sqrt{n+2} +\sqrt{n+1} }
un+1−un=n+2−n−1n+2+n+1u_{n+1} -u_{n} =\frac{n+2-n-1}{\sqrt{n+2} +\sqrt{n+1} }
un+1−un=1n+2+n+1u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{\sqrt{n+2} +\sqrt{n+1} }

Pour tout nn un entier naturel, on vérifie aisément que : n+2+n+1>0\sqrt{n+2} +\sqrt{n+1}>0
Il en résulte donc que :
Or un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
Question 2

Déterminer le plus petit entier naturel n0n_{0} tel que pour tout n≥n0n\ge n_{0}, on a : un≥100u_{n}\ge 100.

Correction
Il nous faut donc résoudre l'inéquation : un≥100u_{n} \ge 100. Il vient alors que :
n+1≥100\sqrt{n+1} \ge 100
n+1≥1002n+1\ge 100^{2}
n+1≥10000n+1\ge 10000
n≥10000−1n\ge 10000-1
n≥9999n\ge 9999

Pour tout n≥9999n\ge 9999, on a : un≥100u_{n}\ge 100.
Question 3

Déterminer le plus petit entier naturel n1n_{1} tel que pour tout n≥n1n\ge n_{1}, on a : un≥106u_{n}\ge 10^{6}.

Correction
Il nous faut donc résoudre l'inéquation : un≥106u_{n} \ge 10^{6}. Il vient alors que :
n+1≥106\sqrt{n+1} \ge 10^{6}
n+1≥(106)2n+1\ge \left(10^{6} \right)^{2}
n+1≥1012n+1\ge 10^{12}
n≥1012−1n\ge 10^{12}-1

Pour tout n≥1012−1n\ge 10^{12}-1, on a : un≥106u_{n}\ge 10^{6}.
Question 4

Conjecturer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right) lorsque nn tend vers +∞+\infty.

Correction
Il en résulte que la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right) est +∞+\infty.
En effet , la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante et elle n'est pas majorée c'est à dire que l'on arrive pas à lui trouver un maximum.