Premières notions sur les suites numériques

Exercices types : 11ère partie - Exercice 3

18 min
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Question 1
Etudiez le sens de variation de chacune des suites (un)\left(u_{n} \right) définies par :

un=5n+3u_{n} =5n+3

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=5n+3u_{n} =5n+3 alors :
un+1=5(n+1)+3u_{n+1} =5\left(n+1\right)+3
un+1=5n+5+3u_{n+1} =5n+5+3
un+1=5n+8u_{n+1} =5n+8
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=5n+8−(5n+3)u_{n+1} -u_{n} =5n+8-\left(5n+3\right)
un+1−un=5n+8−5n−3u_{n+1} -u_{n} =5n+8-5n-3
un+1−un=5u_{n+1} -u_{n} =5

Or un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
Question 2

un=−7n+6u_{n} =-7n+6

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=−7n+6u_{n} =-7n+6 alors :
un+1=−7(n+1)+6u_{n+1} =-7\left(n+1\right)+6
un+1=−7n−7+6u_{n+1} =-7n-7+6
D'où :
un+1=−7n−1u_{n+1} =-7n-1

2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=−7n−1−(−7n+6)u_{n+1} -u_{n} =-7n-1-\left(-7n+6\right)
un+1−un=−7n−1+7n−6u_{n+1} -u_{n} =-7n-1+7n-6
un+1−un=−7u_{n+1} -u_{n} =-7
Or un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
Question 3

un=−2n2−1u_{n} =-2n^{2}-1

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=−2n2−1u_{n} =-2n^{2}-1 alors :
un+1=−2(n+1)2−1u_{n+1} =-2\left(n+1\right)^{2}-1
un+1=−2(n2+2n+1)−1u_{n+1} =-2\left(n^{2}+2n+1\right)-1
un+1=−2n2−4n−2−1u_{n+1} =-2n^{2} -4n-2-1
D'où :
un+1=−2n2−4n−3u_{n+1} =-2n^{2} -4n-3

2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=−2n2−4n−3−(−2n2−1)u_{n+1} -u_{n} =-2n^{2} -4n-3-\left(-2n^{2} -1\right)
un+1−un=−2n2−4n−3+2n2+1u_{n+1} -u_{n} =-2n^{2} -4n-3+2n^{2}+1
un+1−un=−4n−2u_{n+1} -u_{n} =-4n-2
Ici, un+1−unu_{n+1} -u_{n} dépend de nn, il faut donc étudier le signe de −4n−2-4n-2.
Comme nn un entier naturel alors n≥0n\ge0 donc −4n≤0-4n\le0 ainsi −4n−2≤−2-4n-2\le-2. Ce qui signifie que −4n−2≤0-4n-2\le0
Or un+1−un=−4n−2u_{n+1} -u_{n} =-4n-2 donc un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
Question 4

Soit la suite numérique (un)\left(u_{n} \right) définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, un+1=un−3n2−4u_{n+1} =u_{n}-3n^{2}-4

Correction
Nous savons que : un+1=un−3n2−4u_{n+1} =u_{n}-3n^{2}-4
Il en résulte donc que :
un+1−un=−3n2−4u_{n+1} -u_{n}=-3n^{2}-4

Comme nn un entier naturel alors n2≥0n^{2}\ge0 donc −3n2≤0-3n^{2}\le0 ainsi −3n2−4≤−4-3n^{2}-4\le-4. Ce qui signifie que −3n2−4≤0-3n^{2}-4\le0.
Ainsi : un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
Question 5

Soit nn un entier naturel non nul, on a : un=6−1nu_{n} =6-\frac{1}{n}

Correction
un+1−un=6−1n+1−(6−1n)u_{n+1} -u_{n} =6-\frac{1}{n+1} -\left(6-\frac{1}{n} \right)
un+1−un=6−1n+1−6+1nu_{n+1} -u_{n} =6-\frac{1}{n+1} -6+\frac{1}{n}
un+1−un=−1n+1+1nu_{n+1} -u_{n} =-\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n} . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
un+1−un=−n(n+1)n+n+1n(n+1)u_{n+1} -u_{n} =-\frac{n}{\left(n+1\right)n} +\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}
un+1−un=−n+n+1n(n+1)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-n+n+1}{n\left(n+1\right)}
Ainsi :
un+1−un=1n(n+1)u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{n\left(n+1\right)}

Comme nn un entier naturel non nul, il en résulte donc que n≥1n\ge1 et donc n+1≥2n+1\ge2
Il en résulte donc que : 1n(n+1)≥0\frac{1}{n\left(n+1\right)}\ge0
un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
Question 6

Soit nn un entier naturel , on a : un=2n+1n+3u_{n} =\frac{2n+1}{n+3}

Correction
un+1−un=2(n+1)+1n+1+3−2n+1n+3u_{n+1} -u_{n} =\frac{2\left(n+1\right)+1}{n+1+3} -\frac{2n+1}{n+3} équivaut successivement à :
un+1−un=2n+2+1n+4−2n+1n+3u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n+2+1}{n+4} -\frac{2n+1}{n+3}
un+1−un=2n+3n+4−2n+1n+3u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n+3}{n+4} -\frac{2n+1}{n+3}
un+1−un=(2n+3)(n+3)(n+4)(n+3)−(2n+1)(n+4)(n+4)(n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{\left(2n+3\right)\left(n+3\right)}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)} -\frac{\left(2n+1\right)\left(n+4\right)}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}
un+1−un=2n2+6n+3n+9(n+4)(n+3)−2n2+8n+n+4(n+4)(n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n^{2} +6n+3n+9}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)} -\frac{2n^{2} +8n+n+4}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}
un+1−un=2n2+9n+9(n+4)(n+3)−2n2+9n+4(n+4)(n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n^{2} +9n+9}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)} -\frac{2n^{2} +9n+4}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}
un+1−un=2n2+9n+9−(2n2+9n+4)(n+4)(n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n^{2} +9n+9-\left(2n^{2} +9n+4\right)}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}
un+1−un=2n2+9n+9−2n2−9n−4(n+4)(n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n^{2} +9n+9-2n^{2} -9n-4}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}
Ainsi :
un+1−un=5(n+4)(n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{5}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}

Comme nn un entier naturel, il en résulte donc que n≥0n\ge0 et donc n+4≥0n+4\ge0 et n+3≥0n+3\ge0. De plus, 5>05>0.
Il en résulte donc que : 5(n+4)(n+3)≥0\frac{5}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}\ge0
un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.