Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

15 min
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Question 1
Soit nn un entier naturel.
On considère la suite (vn)\left(v_{n} \right) définie par vn=n2−4n−3v_{n} =n^{2}-4n-3.

Calculer v0v_{0} et le quatrième terme de la suite (vn)\left(v_{n} \right).

Correction
v0=02−4×0−3v_{0} =0^{2}-4\times0-3 donne
v0=−3v_{0} =-3

Le quatrième terme de la suite est v3v_{3}.
Ainsi : v3=32−4×3−3v_{3} =3^{2}-4\times3-3 ainsi
v3=−6v_{3} =-6
Question 2
Soit nn un entier naturel.
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=n+1u_{n} =\sqrt{n+1}.

Calculer le premier terme et le quatrième terme de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
u0=0+1u_{0} =\sqrt{0+1} ce qui nous donne
u0=1u_{0} =1

Le quatrième terme de la suite est u3u_{3}.
Il vient alors que :
u3=3+1u_{3} =\sqrt{3+1} ainsi
u3=4=2u_{3} =\sqrt{4}=2
Question 3
Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie par u0=2u_{0} =2 et pour tout entier naturel nn, un+1=3un+1u_{n+1} =3u_{n}+1

Calculez u1u_{1}, u2u_{2} et u3u_{3}.

Correction
u0+1=3u0+1u_{0+1} =3u_{0}+1 donc u1=3×2+1u_{1} =3\times2+1 d'où :
u1=7u_{1} =7

u1+1=3u1+1u_{1+1} =3u_{1}+1 donc u2=3×7+1u_{2} =3\times7+1 d'où :
u2=22u_{2} =22

u2+1=3u2+1u_{2+1} =3u_{2}+1 donc u3=3×22+1u_{3} =3\times22+1 d'où :
u3=67u_{3} =67
Question 4
Soit la suite numérique (wn)(w_{n}) définie par w0=4w_{0} =4 et pour tout entier naturel nn, wn+1=2wn−n2−5w_{n+1} =2w_{n}-n^{2}-5

Calculez w1w_{1}, w2w_{2} et w3w_{3}.

Correction
w0+1=2w0−02−5w_{0+1} =2w_{0}-0^{2}-5 donc w1=2×4−02−5w_{1} =2\times4-0^{2}-5 ainsi :
w1=3w_{1} =3

w1+1=2w1−12−5w_{1+1} =2w_{1}-1^{2}-5 donc w2=2×3−12−5w_{2} =2\times3-1^{2}-5 ainsi :
w2=0w_{2} =0

w2+1=2w2−22−5w_{2+1} =2w_{2}-2^{2}-5 donc w3=2×0−22−5w_{3} =2\times0-2^{2}-5 ainsi :
w3=−9w_{3} =-9
Question 5
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un+2=un+1−unu_{n+2} =u_{n+1}-u_{n}.

Exprimer un+3u_{n+3} en fonction de unu_{n}.

Correction
Comme un+2=un+1−unu_{n+2} =u_{n+1}-u_{n}, alors nous allons remplacer tous les nn de l'expression par n+1n+1. Cela nous donne :
un+1+2=un+1+1−un+1u_{n+1+2} =u_{n+1+1}-u_{n+1}
Ainsi : un+3=un+2−un+1u_{n+3} =u_{n+2}-u_{n+1}.
Or un+2=un+1−unu_{n+2} =u_{n+1}-u_{n}, donc un+3=un+1−un−un+1u_{n+3} =u_{n+1}-u_{n}-u_{n+1}, c'est-à-dire :
un+3=−unu_{n+3} =-u_{n}

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