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Premières notions sur les suites numériques
Exercices types :
1
1
1
ère
partie - Exercice 2
15 min
25
Question 1
Soit
n
n
n
un entier naturel.
On considère la suite
(
v
n
)
\left(v_{n} \right)
(
v
n
)
définie par
v
n
=
n
2
−
4
n
−
3
v_{n} =n^{2}-4n-3
v
n
=
n
2
−
4
n
−
3
.
Calculer
v
0
v_{0}
v
0
et le quatrième terme de la suite
(
v
n
)
\left(v_{n} \right)
(
v
n
)
.
Correction
v
0
=
0
2
−
4
×
0
−
3
v_{0} =0^{2}-4\times0-3
v
0
=
0
2
−
4
×
0
−
3
donne
v
0
=
−
3
v_{0} =-3
v
0
=
−
3
Le quatrième terme de la suite est
v
3
v_{3}
v
3
.
Ainsi :
v
3
=
3
2
−
4
×
3
−
3
v_{3} =3^{2}-4\times3-3
v
3
=
3
2
−
4
×
3
−
3
ainsi
v
3
=
−
6
v_{3} =-6
v
3
=
−
6
Question 2
Soit
n
n
n
un entier naturel.
On considère la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
définie par
u
n
=
n
+
1
u_{n} =\sqrt{n+1}
u
n
=
n
+
1
.
Calculer le premier terme et le quatrième terme de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
Correction
u
0
=
0
+
1
u_{0} =\sqrt{0+1}
u
0
=
0
+
1
ce qui nous donne
u
0
=
1
u_{0} =1
u
0
=
1
Le quatrième terme de la suite est
u
3
u_{3}
u
3
.
Il vient alors que :
u
3
=
3
+
1
u_{3} =\sqrt{3+1}
u
3
=
3
+
1
ainsi
u
3
=
4
=
2
u_{3} =\sqrt{4}=2
u
3
=
4
=
2
Question 3
Soit la suite numérique
(
u
n
)
(u_{n})
(
u
n
)
définie par
u
0
=
2
u_{0} =2
u
0
=
2
et pour tout entier naturel
n
n
n
,
u
n
+
1
=
3
u
n
+
1
u_{n+1} =3u_{n}+1
u
n
+
1
=
3
u
n
+
1
Calculez les
3
3
3
premiers termes de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
Correction
u
0
+
1
=
3
u
0
+
1
u_{0+1} =3u_{0}+1
u
0
+
1
=
3
u
0
+
1
donc
u
1
=
3
×
2
+
1
u_{1} =3\times2+1
u
1
=
3
×
2
+
1
d'où :
u
1
=
7
u_{1} =7
u
1
=
7
u
1
+
1
=
3
u
1
+
1
u_{1+1} =3u_{1}+1
u
1
+
1
=
3
u
1
+
1
donc
u
2
=
3
×
7
+
1
u_{2} =3\times7+1
u
2
=
3
×
7
+
1
d'où :
u
2
=
22
u_{2} =22
u
2
=
22
u
2
+
1
=
3
u
2
+
1
u_{2+1} =3u_{2}+1
u
2
+
1
=
3
u
2
+
1
donc
u
3
=
3
×
22
+
1
u_{3} =3\times22+1
u
3
=
3
×
22
+
1
d'où :
u
3
=
67
u_{3} =67
u
3
=
67
Question 4
Soit la suite numérique
(
w
n
)
(w_{n})
(
w
n
)
définie par
w
0
=
4
w_{0} =4
w
0
=
4
et pour tout entier naturel
n
n
n
,
w
n
+
1
=
2
w
n
−
n
2
−
5
w_{n+1} =2w_{n}-n^{2}-5
w
n
+
1
=
2
w
n
−
n
2
−
5
Calculez les
3
3
3
premiers termes de la suite
(
w
n
)
\left(w_{n} \right)
(
w
n
)
.
Correction
w
0
+
1
=
2
w
0
−
0
2
−
5
w_{0+1} =2w_{0}-0^{2}-5
w
0
+
1
=
2
w
0
−
0
2
−
5
donc
w
1
=
2
×
4
−
0
2
−
5
w_{1} =2\times4-0^{2}-5
w
1
=
2
×
4
−
0
2
−
5
ainsi :
w
1
=
3
w_{1} =3
w
1
=
3
w
1
+
1
=
2
w
1
−
1
2
−
5
w_{1+1} =2w_{1}-1^{2}-5
w
1
+
1
=
2
w
1
−
1
2
−
5
donc
w
2
=
2
×
3
−
1
2
−
5
w_{2} =2\times3-1^{2}-5
w
2
=
2
×
3
−
1
2
−
5
ainsi :
w
2
=
0
w_{2} =0
w
2
=
0
w
2
+
1
=
2
w
2
−
2
2
−
5
w_{2+1} =2w_{2}-2^{2}-5
w
2
+
1
=
2
w
2
−
2
2
−
5
donc
w
3
=
2
×
0
−
2
2
−
5
w_{3} =2\times0-2^{2}-5
w
3
=
2
×
0
−
2
2
−
5
ainsi :
w
3
=
−
9
w_{3} =-9
w
3
=
−
9
Question 5
On considère la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
définie par
u
n
+
2
=
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+2} =u_{n+1}-u_{n}
u
n
+
2
=
u
n
+
1
−
u
n
.
Exprimer
u
n
+
3
u_{n+3}
u
n
+
3
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
.
Correction
Comme
u
n
+
2
=
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+2} =u_{n+1}-u_{n}
u
n
+
2
=
u
n
+
1
−
u
n
, alors nous allons remplacer tous les
n
n
n
de l'expression par
n
+
1
n+1
n
+
1
. Cela nous donne :
u
n
+
1
+
2
=
u
n
+
1
+
1
−
u
n
+
1
u_{n+1+2} =u_{n+1+1}-u_{n+1}
u
n
+
1
+
2
=
u
n
+
1
+
1
−
u
n
+
1
Ainsi :
u
n
+
3
=
u
n
+
2
−
u
n
+
1
u_{n+3} =u_{n+2}-u_{n+1}
u
n
+
3
=
u
n
+
2
−
u
n
+
1