Etudier les variations d'une suite à l'aide de la fonction associée

Dans ce corrigé, nous n'allons pas utiliser la méthode de l'étude du signe de $u_{n+1}-u_{n}$. Nous allons utiliser une fonction associée.
On considère la fonction associée $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par : $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$.
Nous avons donc bien $u_{n}=f\left(n\right)$.
Etudions les variations de $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$.
On reconnaît la forme $\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=x+1$
Ainsi : $v'\left(x\right)=1$.
Il vient alors que :

Pour tout réel $x\in\left[0;+\infty\right[$, on vérifie aisément que $\left(x+1\right)^{2}>0$ et que $-1<0$.
Il en résulte donc que pour tout réel $x\in\left[0;+\infty\right[$, on a $f'\left(x\right)<0$.
Donc $f$ est décroissante sur $x\in\left[0;+\infty\right[$. On en déduit donc que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

Dans ce corrigé, nous n'allons pas utiliser la méthode de l'étude du signe de $u_{n+1}-u_{n}$. Nous allons utiliser une fonction associée.
On considère la fonction associée $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par : $f\left(x\right)=x^{2}+3x+5$.
Nous avons donc bien $u_{n}=f\left(n\right)$.
Etudions les variations de $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$.

Pour tout réel $x\in\left[0;+\infty\right[$, on vérifie aisément que $2x>0$ et que $2x+3>3$ ce qui signifie donc que $2x+3>0$.
Il en résulte donc que pour tout réel $x\in\left[0;+\infty\right[$, on a $f'\left(x\right)>0$.
Donc $f$ est croissante sur $x\in\left[0;+\infty\right[$. On en déduit donc que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

Dans ce corrigé, nous n'allons pas utiliser la méthode de l'étude du signe de $u_{n+1}-u_{n}$. Nous allons utiliser une fonction associée.
On considère la fonction associée $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par : $f\left(x\right)=-x^{3}+6$.
Nous avons donc bien $u_{n}=f\left(n\right)$.
Etudions les variations de $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$.

Pour tout réel $x\in\left[0;+\infty\right[$, on vérifie aisément que $x^{2}>0$ et que $-3x^{2}<0$.
Il en résulte donc que pour tout réel $x\in\left[0;+\infty\right[$, on a $f'\left(x\right)<0$.
Donc $f$ est décroissante sur $x\in\left[0;+\infty\right[$. On en déduit donc que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

Dans ce corrigé, nous n'allons pas utiliser la méthode de l'étude du signe de $u_{n+1}-u_{n}$. Nous allons utiliser une fonction associée.
On considère la fonction associée $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par : $f\left(x\right)=x^{2}-6x-1$.
Nous avons donc bien $u_{n}=f\left(n\right)$.
Etudions les variations de $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$.

Il nous faut étudier le signe de $2x-6$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$
Ainsi : $2x-6\ge 0\Leftrightarrow 2x\ge 6\Leftrightarrow x\ge 3$
Il en résulte donc que :
Pour tout réel $x\in\left[0;3\right[$, on a $f'\left(x\right)\le0$.
Pour tout réel $x\in\left[3;+\infty\right[$, on a $f'\left(x\right)\ge0$.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :

Donc $f$ est croissante lorsque $x\in\left[3;+\infty\right[$. On en déduit donc que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante à partir du rang $n\ge3$.

N'oublions pas ici que $n\ge1$.
Dans ce corrigé, nous n'allons pas utiliser la méthode de l'étude du signe de $u_{n+1}-u_{n}$. Nous allons utiliser une fonction associée.
On considère la fonction associée $f$ définie sur $\left[1;+\infty\right[$ par : $f\left(x\right)=\frac{3x-1}{x^{2} }$. Nous avons donc bien $u_{n}=f\left(n\right)$.
Etudions les variations de $f$ sur $\left[1;+\infty\right[$.
On reconnaît la forme $\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$ avec $u\left(x\right)=3x-1$ et $v\left(x\right)=x^{2}$
Ainsi : $u'\left(x\right)=3$ et $v'\left(x\right)=2x$.
Il vient alors que :
$f\left(x\right)=\frac{3x-1}{x^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{3\times x^{2} -\left(3x-1\right)\times 2x}{\left(x^{2} \right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{3x^{2} -\left(6x^{2} -2x\right)}{x^{4} }$
$f'\left(x\right)=\frac{3x^{2} -6x^{2} +2x}{x^{4} }$
$f'\left(x\right)=\frac{-3x^{2} +2x}{x^{4} }$
$f'\left(x\right)=\frac{x\times \left(-3x+2\right)}{x\times x^{3} }$
Ainsi :
Or $x\in\left[1;+\infty\right[$ et donc $x^{3}>0$. Le signe de $f'$ dépend alors du signe de $-3x+2$.
$-3x+2\ge 0\Leftrightarrow -3x\ge -2\Leftrightarrow x\le \frac{-2}{-3} \Leftrightarrow x\le \frac{2}{3}$
Cela signifie que pour tout réel $x\in\left[1;+\infty\right[$ , nous allons avoir $f'\left(x\right)\le0$.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation que l'on donne ci-dessous :

On en déduit donc que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $n\ge1$.

On considère la fonction associée $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par : $f\left(x\right)=3\left(x-2\right)^{2} +6$. Nous avons donc bien $u_{n}=f\left(n\right)$.
On reconnait une fonction du second degré ( forme canonique ). Nous pouvons donc dresser rapidement le tableau de variation de $f$.
Nous identifions $a=3$ ; $\alpha=2$ et $\beta=6$ .

On en déduit donc que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante à partir du rang $n\ge2$.