Soit une fonction
f définie sur
[0;+∞[ et une suite numérique
(un) définie sur
N par
un=f(n). Soit
p un entier naturel.
- Si f est croissante sur l'intervalle [p;+∞[ alors la suite (un) est croissante à partir du rang p.
- Si f est décroissante sur l'intervalle [p;+∞[ alors la suite (un) est décroissante à partir du rang p.
Dans ce corrigé, nous n'allons pas utiliser la méthode de l'étude du signe de
un+1−un. Nous allons utiliser une fonction associée.
On considère la fonction associée
f définie sur
[0;+∞[ par :
f(x)=x2+3x+5.
Nous avons donc bien
un=f(n).
Etudions les variations de
f sur
[0;+∞[.
f′(x)=2x+3 Pour tout réel
x∈[0;+∞[, on vérifie aisément que
2x>0 et que
2x+3>3 ce qui signifie donc que
2x+3>0.
Il en résulte donc que pour tout réel
x∈[0;+∞[, on a
f′(x)>0.
Donc
f est
croissante sur
x∈[0;+∞[. On en déduit donc que la suite
(un) est
croissante.