Etudier les variations d'une suite à l'aide de la fonction associée - Exercice 1

Dans ce corrigé, nous n'allons pas utiliser la méthode de l'étude du signe de $$u_{n+1}-u_{n}$$. Nous allons utiliser une fonction associée.
On considère la fonction associée $$f$$ définie sur $$\left[0;+\infty\right[$$ par : $$f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$$.
Nous avons donc bien $$u_{n}=f\left(n\right)$$.
Etudions les variations de $$f$$ sur $$\left[0;+\infty\right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$$ avec $$v\left(x\right)=x+1$$
Ainsi : $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :

Pour tout réel $$x\in\left[0;+\infty\right[$$, on vérifie aisément que $$\left(x+1\right)^{2}>0$$ et que $$-1<0$$.
Il en résulte donc que pour tout réel $$x\in\left[0;+\infty\right[$$, on a $$f'\left(x\right)<0$$.
Donc $$f$$ est décroissante sur $$x\in\left[0;+\infty\right[$$. On en déduit donc que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est décroissante.

Dans ce corrigé, nous n'allons pas utiliser la méthode de l'étude du signe de $$u_{n+1}-u_{n}$$. Nous allons utiliser une fonction associée.
On considère la fonction associée $$f$$ définie sur $$\left[0;+\infty\right[$$ par : $$f\left(x\right)=x^{2}+3x+5$$.
Nous avons donc bien $$u_{n}=f\left(n\right)$$.
Etudions les variations de $$f$$ sur $$\left[0;+\infty\right[$$.

Pour tout réel $$x\in\left[0;+\infty\right[$$, on vérifie aisément que $$2x>0$$ et que $$2x+3>3$$ ce qui signifie donc que $$2x+3>0$$.
Il en résulte donc que pour tout réel $$x\in\left[0;+\infty\right[$$, on a $$f'\left(x\right)>0$$.
Donc $$f$$ est croissante sur $$x\in\left[0;+\infty\right[$$. On en déduit donc que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est croissante.

Dans ce corrigé, nous n'allons pas utiliser la méthode de l'étude du signe de $$u_{n+1}-u_{n}$$. Nous allons utiliser une fonction associée.
On considère la fonction associée $$f$$ définie sur $$\left[0;+\infty\right[$$ par : $$f\left(x\right)=-x^{3}+6$$.
Nous avons donc bien $$u_{n}=f\left(n\right)$$.
Etudions les variations de $$f$$ sur $$\left[0;+\infty\right[$$.

Pour tout réel $$x\in\left[0;+\infty\right[$$, on vérifie aisément que $$x^{2}>0$$ et que $$-3x^{2}<0$$.
Il en résulte donc que pour tout réel $$x\in\left[0;+\infty\right[$$, on a $$f'\left(x\right)<0$$.
Donc $$f$$ est décroissante sur $$x\in\left[0;+\infty\right[$$. On en déduit donc que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est décroissante.

Dans ce corrigé, nous n'allons pas utiliser la méthode de l'étude du signe de $$u_{n+1}-u_{n}$$. Nous allons utiliser une fonction associée.
On considère la fonction associée $$f$$ définie sur $$\left[0;+\infty\right[$$ par : $$f\left(x\right)=x^{2}-6x-1$$.
Nous avons donc bien $$u_{n}=f\left(n\right)$$.
Etudions les variations de $$f$$ sur $$\left[0;+\infty\right[$$.

Il nous faut étudier le signe de $$2x-6$$ sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$
Ainsi : $$2x-6\ge 0\Leftrightarrow 2x\ge 6\Leftrightarrow x\ge 3$$
Il en résulte donc que :
Pour tout réel $$x\in\left[0;3\right[$$, on a $$f'\left(x\right)\le0$$.
Pour tout réel $$x\in\left[3;+\infty\right[$$, on a $$f'\left(x\right)\ge0$$.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :

Donc $$f$$ est croissante lorsque $$x\in\left[3;+\infty\right[$$. On en déduit donc que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est croissante à partir du rang $$n\ge3$$.

N'oublions pas ici que $$n\ge1$$.
Dans ce corrigé, nous n'allons pas utiliser la méthode de l'étude du signe de $$u_{n+1}-u_{n}$$. Nous allons utiliser une fonction associée.
On considère la fonction associée $$f$$ définie sur $$\left[1;+\infty\right[$$ par : $$f\left(x\right)=\frac{3x-1}{x^{2} }$$. Nous avons donc bien $$u_{n}=f\left(n\right)$$.
Etudions les variations de $$f$$ sur $$\left[1;+\infty\right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=3x-1$$ et $$v\left(x\right)=x^{2}$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=3$$ et $$v'\left(x\right)=2x$$.
Il vient alors que :
$$f\left(x\right)=\frac{3x-1}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3\times x^{2} -\left(3x-1\right)\times 2x}{\left(x^{2} \right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3x^{2} -\left(6x^{2} -2x\right)}{x^{4} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3x^{2} -6x^{2} +2x}{x^{4} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-3x^{2} +2x}{x^{4} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{x\times \left(-3x+2\right)}{x\times x^{3} }$$
Ainsi :
Or $$x\in\left[1;+\infty\right[$$ et donc $$x^{3}>0$$. Le signe de $$f'$$ dépend alors du signe de $$-3x+2$$.
$$-3x+2\ge 0\Leftrightarrow -3x\ge -2\Leftrightarrow x\le \frac{-2}{-3} \Leftrightarrow x\le \frac{2}{3}$$
Cela signifie que pour tout réel $$x\in\left[1;+\infty\right[$$ , nous allons avoir $$f'\left(x\right)\le0$$.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation que l'on donne ci-dessous :

On en déduit donc que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est décroissante à partir du rang $$n\ge1$$.

On considère la fonction associée $$f$$ définie sur $$\left[0;+\infty\right[$$ par : $$f\left(x\right)=3\left(x-2\right)^{2} +6$$. Nous avons donc bien $$u_{n}=f\left(n\right)$$.
On reconnait une fonction du second degré ( forme canonique ). Nous pouvons donc dresser rapidement le tableau de variation de $$f$$.
Nous identifions $$a=3$$ ; $$\alpha=2$$ et $$\beta=6$$ .

On en déduit donc que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est croissante à partir du rang $$n\ge2$$.