Ici il s’agit d’eˊtudier la monotonie d’une suite reˊcurrente. Comme :
un+1=un(1−7un)un+1=un×1+un×(−7un) un+1=un−7(un)2On va passer le
un qui est à droite du signe
= à gauche du signe
= afin de faire apparaître l'expression
un+1−un.
Ainsi :
un+1=un−7(un)2 peut s'écrire :
un+1−un=−7(un)2Or pour tout entier naturel
n , on a :
(un)2≥0 car un carré est positif ou nul. D'où :
−7(un)2≤0Or
un+1−un=−7(un)2 donc on peut conclure que
un+1−un≤0Finalement, la suite
(un) est
deˊcroissante.