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Premières notions sur les suites numériques
Etudier le sens de variation d’une suite
(
u
n
)
(u_{n})
(
u
n
)
à l'aide de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
- Exercice 2
10 min
20
Question 1
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul.
Pour les cas suivants, étudier le sens de variation de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
On peut également demander d'étudier la monotonie de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
Ces deux questions sont identiques.
u
n
=
4
n
u_{n} =4^{n}
u
n
=
4
n
Correction
Si
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est croissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
u_{n+1} -u_{n} \le 0
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est décroissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
=
0
u_{n+1} -u_{n} =0
u
n
+
1
−
u
n
=
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est constante.
1
ère
étape :
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
n
n
n
.
Comme
u
n
=
4
n
u_{n} =4^{n}
u
n
=
4
n
alors :
u
n
+
1
=
4
n
+
1
u_{n+1} =4^{n+1}
u
n
+
1
=
4
n
+
1
2
ème
étape :
Calcul de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
puis étude du signe de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
.
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
+
1
−
4
n
u_{n+1} -u_{n} =4^{n+1} -4^{n}
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
+
1
−
4
n
a
n
+
1
=
a
n
×
a
1
a^{n+1} =a^{n} \times a^{1}
a
n
+
1
=
a
n
×
a
1
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
×
4
1
−
4
n
u_{n+1} -u_{n} =4^{n} \times 4^{1} -4^{n}
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
×
4
1
−
4
n
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
×
4
−
4
n
×
1
u_{n+1} -u_{n} ={\color{blue}4^{n}} \times 4-{\color{blue}4^{n}} \times 1
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
×
4
−
4
n
×
1
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
×
(
4
−
1
)
u_{n+1} -u_{n} ={\color{blue}4^{n}} \times \left(4-1\right)
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
×
(
4
−
1
)
. Nous avons ici factorisé par
4
n
{\color{blue}4^{n}}
4
n
.
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
×
3
u_{n+1} -u_{n} =4^{n} \times 3
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
×
3
Or :
4
n
>
0
4^{n}>0
4
n
>
0
et
3
>
0
3>0
3
>
0
Il en résulte que
4
n
×
3
>
0
4^{n} \times 3> 0
4
n
×
3
>
0
ce qui signifie que
4
n
×
3
≥
0
4^{n} \times 3\ge 0
4
n
×
3
≥
0
Comme
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
×
3
u_{n+1} -u_{n} =4^{n} \times 3
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
×
3
donc
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est
croissante.
\red{\text{ croissante.}}
croissante.
Question 2
u
n
=
3
n
+
7
n
u_{n} =3^{n} +7^{n}
u
n
=
3
n
+
7
n
Correction
Si
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est croissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
u_{n+1} -u_{n} \le 0
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est décroissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
=
0
u_{n+1} -u_{n} =0
u
n
+
1
−
u
n
=
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est constante.
1
ère
étape :
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
n
n
n
.
Comme
u
n
=
3
n
+
7
n
u_{n} =3^{n} +7^{n}
u
n
=
3
n
+
7
n
alors :
u
n
+
1
=
3
n
+
1
+
7
n
+
1
u_{n+1} =3^{n+1} +7^{n+1}
u
n
+
1
=
3
n
+
1
+
7
n
+
1
2
ème
étape :
Calcul de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
puis étude du signe de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
.
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
+
1
+
7
n
+
1
−
(
3
n
+
7
n
)
u_{n+1} -u_{n} =3^{n+1} +7^{n+1} -\left(3^{n} +7^{n} \right)
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
+
1
+
7
n
+
1
−
(
3
n
+
7
n
)
a
n
+
1
=
a
n
×
a
1
a^{n+1} =a^{n} \times a^{1}
a
n
+
1
=
a
n
×
a
1
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
3
1
+
7
n
×
7
1
−
(
3
n
+
7
n
)
u_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 3^{1} +7^{n} \times 7^{1} -\left(3^{n} +7^{n} \right)
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
3
1
+
7
n
×
7
1
−
(
3
n
+
7
n
)
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
3
1
+
7
n
×
7
1
−
3
n
−
7
n
u_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 3^{1} +7^{n} \times 7^{1} -3^{n} -7^{n}
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
3
1
+
7
n
×
7
1
−
3
n
−
7
n
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
3
1
−
3
n
+
7
n
×
7
1
−
7
n
u_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 3^{1} -3^{n} +7^{n} \times 7^{1} -7^{n}
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
3
1
−
3
n
+
7
n
×
7
1
−
7
n
. On met côte à côté les expressions
3
n
3^{n}
3
n
et
7
n
7^{n}
7
n
ensemble .
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
3
−
3
n
+
7
n
×
7
−
7
n
u_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 3-3^{n} +7^{n} \times 7-7^{n}
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
3
−
3
n
+
7
n
×
7
−
7
n
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
3
−
3
n
×
1
+
7
n
×
7
−
7
n
×
1
u_{n+1} -u_{n} ={\color{blue}3^{n}} \times 3-{\color{blue}3^{n}} \times 1+{\color{red}7^{n}} \times 7-{\color{red}7^{n}} \times 1
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
3
−
3
n
×
1
+
7
n
×
7
−
7
n
×
1
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
(
3
−
1
)
+
7
n
×
(
7
−
1
)
u_{n+1} -u_{n} ={\color{blue}3^{n}} \times \left(3-1\right)+{\color{red}7^{n}} \times \left(7-1\right)
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
(
3
−
1
)
+
7
n
×
(
7
−
1
)
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
2
+
7
n
×
6
u_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 2+7^{n} \times 6
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
2
+
7
n
×
6
Or :
4
n
>
0
4^{n}>0
4
n
>
0
;
2
>
0
2>0
2
>
0
;
7
n
>
0
7^{n}>0
7
n
>
0
et
6
>
0
6>0
6
>
0
Il en résulte que
3
n
×
2
+
7
n
×
6
>
0
3^{n} \times 2+7^{n} \times 6> 0
3
n
×
2
+
7
n
×
6
>
0
ce qui signifie que
3
n
×
2
+
7
n
×
6
≥
0
3^{n} \times 2+7^{n} \times 6\ge 0
3
n
×
2
+
7
n
×
6
≥
0
Comme
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
2
+
7
n
×
6
u_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 2+7^{n} \times 6
u
n
+
1
−
u
n
=
3
n
×
2
+
7
n
×
6
donc
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est
croissante.
\red{\text{ croissante.}}
croissante.