Etudier le sens de variation d’une suite $$(u_{n})$$ à l'aide de $$u_{n+1} -u_{n}$$ - Exercice 1

1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
Comme $$u_{n} =2n+3$$ alors :
$$u_{n+1} =2\left(n+1\right)+3$$
$$u_{n+1} =2n+2+3$$
$$u_{n+1} =2n+5$$
2^ème étape : Calcul de $$u_{n+1} -u_{n}$$ puis étude du signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$.
$$u_{n+1} -u_{n} =2n+5-\left(2n+3\right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =2n+5-2n-3$$
$$u_{n+1} -u_{n} =2$$
Or $$u_{n+1} -u_{n} \ge 0$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ croissante.}}$$

1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
Comme $$u_{n} =-4n+9$$ alors :
$$u_{n+1} =-4\left(n+1\right)+9$$
$$u_{n+1} =-4n-4+9$$
$$u_{n+1} =-4n+5$$
2^ème étape : Calcul de $$u_{n+1} -u_{n}$$ puis étude du signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$.
$$u_{n+1} -u_{n} =-4n+5-\left(-4n+9\right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-4n+5+4n-9$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-4$$
Or $$u_{n+1} -u_{n} \le 0$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ décroissante.}}$$

1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
Comme $$u_{n} =n^{2} +3$$ alors :
$$u_{n+1} =\left(n+1\right)^{2} +3$$
$$u_{n+1} =n^{2} +2n+1+3$$
$$u_{n+1} =n^{2} +2n+4$$
2^ème étape : Calcul de $$u_{n+1} -u_{n}$$ puis étude du signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$.
$$u_{n+1} -u_{n} =n^{2} +2n+4-\left(n^{2} +3\right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =n^{2} +2n+4-n^{2} -3$$
$$u_{n+1} -u_{n} =2n+1$$
Ici, $$u_{n+1} -u_{n}$$ dépend de $$n$$, il faut donc étudier le signe de $$2n+1$$.
Comme $$n$$ un entier naturel alors $$n\ge0$$ donc $$2n\ge0$$ ainsi $$2n+1\ge1$$.
Il en résulte que $$2n+1\ge 0$$
Or $$u_{n+1} -u_{n} =2n+1$$ donc $$u_{n+1} -u_{n} \ge 0$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ croissante.}}$$

1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
Comme $$u_{n} =\frac{1}{n}$$ alors : $$u_{n} =\frac{1}{n+1}$$
2^ème étape : Calcul de $$u_{n+1} -u_{n}$$ puis étude du signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$.
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{n+1} -\frac{1}{n}$$.
On va tout mettre au même dénominateur.
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{n}{n\left(n+1\right)} -\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{n-n-1}{n\left(n+1\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{-1}{n\left(n+1\right)}$$
Comme $$n$$ un entier naturel non nul alors $$n>0$$ et $$n+1>0$$ donc $$n\left(n+1\right)>0$$ . or $$-1<0$$.
Il en résulte que $$\frac{-1}{n\left(n+1\right)} <0$$ ce qui implique que : $$\frac{-1}{n\left(n+1\right)} \le 0$$
Or $$u_{n+1} -u_{n} =\frac{-1}{n\left(n+1\right)}$$ donc $$u_{n+1} -u_{n} \le 0$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ décroissante.}}$$

1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
$$u_{n+1} =\frac{2-\left(n+1\right)}{2\left(n+1\right)+5}$$
$$u_{n+1} =\frac{2-n-1}{2n+2+5}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{1-n}{2n+7}$$
2^ème étape : Calcul de $$u_{n+1} -u_{n}$$ puis étude du signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$.
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{1-n}{2n+7} -\frac{2-n}{2n+5}$$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur.
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{\left(1-n\right)\left(2n+5\right)}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)} -\frac{\left(2-n\right)\left(2n+7\right)}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n+5-2n^{2} -5n}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)} -\frac{4n+14-2n^{2} -7n}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{-2n^{2} -3n+5}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)} -\frac{-2n^{2} -3n+14}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{-2n^{2} -3n+5-\left(-2n^{2} -3n+14\right)}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{-2n^{2} -3n+5+2n^{2} +3n-14}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{-9}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}$$
Comme $$n$$ un entier naturel, il en résulte donc que $$n\ge0$$ et donc $$2n+7\ge0$$ et $$2n+5\ge0$$. De plus, $$-9<0$$.
Il en résulte donc que : $$\frac{-9}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}\le0$$
$$u_{n+1} -u_{n} \le 0$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ décroissante.}}$$

1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
Comme $$u_{n} =2n^{2} +n$$ alors :
$$u_{n+1} =2\left(n+1\right)^{2} +n+1$$
$$u_{n+1} =2\left(n^{2} +2n+1\right)+n+1$$
$$u_{n+1} =2n^{2} +4n+2+n+1$$
$$u_{n+1} =2n^{2} +5n+3$$
2^ème étape : Calcul de $$u_{n+1} -u_{n}$$ puis étude du signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$.
$$u_{n+1} -u_{n} =2n^{2} +5n+3-\left(2n^{2} +n\right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =2n^{2} +5n+3-2n^{2} -n$$
$$u_{n+1} -u_{n} =4n+3$$
Ici, $$u_{n+1} -u_{n}$$ dépend de $$n$$, il faut donc étudier le signe de $$4n+3$$.
Comme $$n$$ un entier naturel alors $$n\ge0$$ donc $$4n\ge0$$ ainsi $$4n+3\ge3$$.
Il en résulte que $$4n+3\ge 0$$
Or $$u_{n+1} -u_{n} =4n+3$$ donc $$u_{n+1} -u_{n} \ge 0$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ croissante.}}$$