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Etudier le sens de variation d’une suite (un)(u_{n}) à l'aide de un+1−unu_{n+1} -u_{n} - Exercice 1

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Soit nn un entier naturel non nul.
Pour les cas suivants, étudier le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).
On peut également demander d'étudier la monotonie de la suite (un)\left(u_{n} \right).
Ces deux questions sont identiques.
Question 1

un=2n+3u_{n} =2n+3

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=2n+3u_{n} =2n+3 alors :
un+1=2(n+1)+3u_{n+1} =2\left(n+1\right)+3
un+1=2n+2+3u_{n+1} =2n+2+3
un+1=2n+5u_{n+1} =2n+5
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=2n+5−(2n+3)u_{n+1} -u_{n} =2n+5-\left(2n+3\right)
un+1−un=2n+5−2n−3u_{n+1} -u_{n} =2n+5-2n-3
un+1−un=2u_{n+1} -u_{n} =2
Or un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  croissante.\red{\text{ croissante.}}
Question 2

un=−4n+9u_{n} =-4n+9

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=−4n+9u_{n} =-4n+9 alors :
un+1=−4(n+1)+9u_{n+1} =-4\left(n+1\right)+9
un+1=−4n−4+9u_{n+1} =-4n-4+9
un+1=−4n+5u_{n+1} =-4n+5
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=−4n+5−(−4n+9)u_{n+1} -u_{n} =-4n+5-\left(-4n+9\right)
un+1−un=−4n+5+4n−9u_{n+1} -u_{n} =-4n+5+4n-9
un+1−un=−4u_{n+1} -u_{n} =-4
Or un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  deˊcroissante.\red{\text{ décroissante.}}
Question 3

un=n2+3u_{n} =n^{2} +3

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=n2+3u_{n} =n^{2} +3 alors :
un+1=(n+1)2+3u_{n+1} =\left(n+1\right)^{2} +3
un+1=n2+2n+1+3u_{n+1} =n^{2} +2n+1+3
un+1=n2+2n+4u_{n+1} =n^{2} +2n+4
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=n2+2n+4−(n2+3)u_{n+1} -u_{n} =n^{2} +2n+4-\left(n^{2} +3\right)
un+1−un=n2+2n+4−n2−3u_{n+1} -u_{n} =n^{2} +2n+4-n^{2} -3
un+1−un=2n+1u_{n+1} -u_{n} =2n+1
Ici, un+1−unu_{n+1} -u_{n} dépend de nn, il faut donc étudier le signe de 2n+12n+1.
Comme nn un entier naturel alors n≥0n\ge0 donc 2n≥02n\ge0 ainsi 2n+1≥12n+1\ge1.
Il en résulte que 2n+1≥02n+1\ge 0
Or un+1−un=2n+1u_{n+1} -u_{n} =2n+1 donc un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  croissante.\red{\text{ croissante.}}
Question 4

un=1nu_{n} =\frac{1}{n} avec nn un entier naturel non nul.

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=1nu_{n} =\frac{1}{n} alors : un=1n+1u_{n} =\frac{1}{n+1}
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=1n+1−1nu_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{n+1} -\frac{1}{n} .
On va tout mettre au même dénominateur.
un+1−un=nn(n+1)−n+1n(n+1)u_{n+1} -u_{n} =\frac{n}{n\left(n+1\right)} -\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}
un+1−un=n−(n+1)n(n+1)u_{n+1} -u_{n} =\frac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}
un+1−un=n−n−1n(n+1)u_{n+1} -u_{n} =\frac{n-n-1}{n\left(n+1\right)}
un+1−un=−1n(n+1)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-1}{n\left(n+1\right)}
Comme nn un entier naturel non nul alors n>0n>0 et n+1>0n+1>0 donc n(n+1)>0n\left(n+1\right)>0 . or −1<0-1<0.
Il en résulte que −1n(n+1)<0\frac{-1}{n\left(n+1\right)} <0 ce qui implique que : −1n(n+1)≤0\frac{-1}{n\left(n+1\right)} \le 0
Or un+1−un=−1n(n+1)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-1}{n\left(n+1\right)} donc un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  deˊcroissante.\red{\text{ décroissante.}}
Question 5

Soit nn un entier naturel , on a : un=2−n2n+5u_{n} =\frac{2-n}{2n+5}

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
un+1=2−(n+1)2(n+1)+5u_{n+1} =\frac{2-\left(n+1\right)}{2\left(n+1\right)+5}
un+1=2−n−12n+2+5u_{n+1} =\frac{2-n-1}{2n+2+5}
un+1−un=1−n2n+7u_{n+1} -u_{n} =\frac{1-n}{2n+7}
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=1−n2n+7−2−n2n+5u_{n+1} -u_{n} =\frac{1-n}{2n+7} -\frac{2-n}{2n+5} . Nous allons tout mettre au même dénominateur.
un+1−un=(1−n)(2n+5)(2n+7)(2n+5)−(2−n)(2n+7)(2n+7)(2n+5)u_{n+1} -u_{n} =\frac{\left(1-n\right)\left(2n+5\right)}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)} -\frac{\left(2-n\right)\left(2n+7\right)}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}
un+1−un=2n+5−2n2−5n(2n+7)(2n+5)−4n+14−2n2−7n(2n+7)(2n+5)u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n+5-2n^{2} -5n}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)} -\frac{4n+14-2n^{2} -7n}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}
un+1−un=−2n2−3n+5(2n+7)(2n+5)−−2n2−3n+14(2n+7)(2n+5)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-2n^{2} -3n+5}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)} -\frac{-2n^{2} -3n+14}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}
un+1−un=−2n2−3n+5−(−2n2−3n+14)(2n+7)(2n+5)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-2n^{2} -3n+5-\left(-2n^{2} -3n+14\right)}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}
un+1−un=−2n2−3n+5+2n2+3n−14(2n+7)(2n+5)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-2n^{2} -3n+5+2n^{2} +3n-14}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}
un+1−un=−9(2n+7)(2n+5)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-9}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}
Comme nn un entier naturel, il en résulte donc que n≥0n\ge0 et donc 2n+7≥02n+7\ge0 et 2n+5≥02n+5\ge0. De plus, −9<0-9<0.
Il en résulte donc que : −9(2n+7)(2n+5)≤0\frac{-9}{\left(2n+7\right)\left(2n+5\right)}\le0
un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  deˊcroissante.\red{\text{ décroissante.}}
Question 6

un=2n2+nu_{n} =2n^{2} +n

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=2n2+nu_{n} =2n^{2} +n alors :
un+1=2(n+1)2+n+1u_{n+1} =2\left(n+1\right)^{2} +n+1
un+1=2(n2+2n+1)+n+1u_{n+1} =2\left(n^{2} +2n+1\right)+n+1
un+1=2n2+4n+2+n+1u_{n+1} =2n^{2} +4n+2+n+1
un+1=2n2+5n+3u_{n+1} =2n^{2} +5n+3
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=2n2+5n+3−(2n2+n)u_{n+1} -u_{n} =2n^{2} +5n+3-\left(2n^{2} +n\right)
un+1−un=2n2+5n+3−2n2−nu_{n+1} -u_{n} =2n^{2} +5n+3-2n^{2} -n
un+1−un=4n+3u_{n+1} -u_{n} =4n+3
Ici, un+1−unu_{n+1} -u_{n} dépend de nn, il faut donc étudier le signe de 4n+34n+3.
Comme nn un entier naturel alors n≥0n\ge0 donc 4n≥04n\ge0 ainsi 4n+3≥34n+3\ge3.
Il en résulte que 4n+3≥04n+3\ge 0
Or un+1−un=4n+3u_{n+1} -u_{n} =4n+3 donc un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  croissante.\red{\text{ croissante.}}

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