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Premières notions sur les suites numériques
Etudier le sens de variation d’une suite
(
u
n
)
(u_{n})
(
u
n
)
à l'aide de
u
n
+
1
u
n
\frac{u_{n+1} }{u_{n} }
u
n
u
n
+
1
- Exercice 2
3 min
10
Question 1
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul.
Pour les cas suivants, étudier le sens de variation de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
On peut également demander d'étudier la monotonie de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
Ces deux questions sont identiques.
u
n
=
2
n
5
u_{n} =\frac{2^{n}}{5}
u
n
=
5
2
n
Correction
Il est impératif de vérifier tout d'abord que
u
n
>
0
u_{n}>0
u
n
>
0
pour pouvoir utiliser cette méthode.
Si
u
n
+
1
u
n
≥
1
\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \ge 1
u
n
u
n
+
1
≥
1
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est croissante.
Si
u
n
+
1
u
n
≤
1
\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \le 1
u
n
u
n
+
1
≤
1
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est décroissante.
Si
u
n
+
1
u
n
=
1
\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =1
u
n
u
n
+
1
=
1
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est constante.
Lorsque qu’une suite s’exprime avec une puissance, on peut privil
e
ˊ
gier la m
e
ˊ
thode ci-dessous.
\red{\text{ Lorsque qu'une suite s'exprime avec une puissance, on peut privilégier la méthode ci-dessous.}}
Lorsque qu’une suite s’exprime avec une puissance, on peut privil
e
ˊ
gier la m
e
ˊ
thode ci-dessous.
1
ère
étape :
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
n
n
n
.
On vérifie aisément que
u
n
=
2
n
5
>
0
u_{n} =\frac{2^{n}}{5} >0
u
n
=
5
2
n
>
0
.
Comme
u
n
=
2
n
5
u_{n} =\frac{2^{n}}{5}
u
n
=
5
2
n
alors :
u
n
+
1
=
2
n
+
1
5
u_{n+1} =\frac{2^{n+1}}{5}
u
n
+
1
=
5
2
n
+
1
2
ème
étape :
Calcul de
u
n
+
1
u
n
\frac{u_{n+1} }{u_{n} }
u
n
u
n
+
1
puis comparer de
u
n
+
1
u
n
\frac{u_{n+1} }{u_{n} }
u
n
u
n
+
1
à
1
1
1
.
u
n
+
1
u
n
=
2
n
+
1
5
2
n
5
\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\frac{2^{n+1} }{5} }{\frac{2^{n} }{5} }
u
n
u
n
+
1
=
5
2
n
5
2
n
+
1
u
n
+
1
u
n
=
2
n
+
1
5
×
5
2
n
\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2^{n+1} }{5} \times \frac{5}{2^{n} }
u
n
u
n
+
1
=
5
2
n
+
1
×
2
n
5
u
n
+
1
u
n
=
2
n
+
1
2
n
\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2^{n+1} }{2^{n} }
u
n
u
n
+
1
=
2
n
2
n
+
1
u
n
+
1
u
n
=
2
n
+
1
−
n
\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =2^{n+1-n}
u
n
u
n
+
1
=
2
n
+
1
−
n
Ainsi :
u
n
+
1
u
n
=
2
\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =2
u
n
u
n
+
1
=
2
Or
u
n
+
1
u
n
≥
1
\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \ge 1
u
n
u
n
+
1
≥
1
Pour tout entier naturel
n
n
n
, la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est
croissante.