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Etudier le sens de variation d’une suite (un)(u_{n}) à l'aide de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } - Exercice 2

3 min
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Question 1
Soit nn un entier naturel non nul.
Pour les cas suivants, étudier le sens de variation de la suite(un)\left(u_{n} \right).
On peut également demander d'étudier la monotonie de la suite (un)\left(u_{n} \right).
Ces deux questions sont identiques.

un=2n5u_{n} =\frac{2^{n}}{5}

Correction
Il est impératif de vérifier tout d'abord que un>0u_{n}>0 pour pouvoir utiliser cette méthode.
  • Si un+1un≥1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \ge 1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1un≤1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \le 1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1un=1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
 Lorsque qu’une suite s’exprime avec une puissance, on peut privileˊgier la meˊthode ci-dessous.\red{\text{ Lorsque qu'une suite s'exprime avec une puissance, on peut privilégier la méthode ci-dessous.}}
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
On vérifie aisément que un=2n5>0u_{n} =\frac{2^{n}}{5} >0 .
Comme un=2n5u_{n} =\frac{2^{n}}{5} alors :
un+1=2n+15u_{n+1} =\frac{2^{n+1}}{5}
2ème étape : Calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } puis comparer de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } à 11.
un+1un=2n+152n5\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\frac{2^{n+1} }{5} }{\frac{2^{n} }{5} }
un+1un=2n+15×52n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2^{n+1} }{5} \times \frac{5}{2^{n} }
un+1un=2n+12n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2^{n+1} }{2^{n} }
un+1un=2n+1−n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =2^{n+1-n}
Ainsi :
un+1un=2\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =2

Or un+1un≥1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \ge 1
Pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.

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