Etudier le sens de variation d’une suite $$(u_{n})$$ à l'aide de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ - Exercice 1

$$\red{\text{ Lorsque qu'une suite s'exprime avec une puissance, on peut privilégier la méthode ci-dessous.}}$$
1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
On vérifie aisément que $$u_{n} =3^{n}>0$$.
Comme $$u_{n} =3^{n}$$ alors :
$$u_{n+1} =3^{n+1}$$
2^ème étape : Calcul de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ puis comparer de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ à $$1$$.
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{3^{n+1} }{3^{n} }$$

$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =3^{n+1-n}$$
Ainsi :
Or $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \ge 1$$
Pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.

1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
On vérifie aisément que $$u_{n} =\frac{3^{4n} }{4^{3n} }>0$$.
Comme $$u_{n} =\frac{3^{4n} }{4^{3n} }$$ alors : $$u_{n} =\frac{\left(3^{4} \right)^{n} }{\left(4^{3} \right)^{n} }$$ d'où : $$u_{n} =\frac{\left(81\right)^{n} }{\left(64\right)^{n} } =\left(\frac{81}{64} \right)^{n} =\left(\frac{21}{16} \right)^{n}$$
$$u_{n+1} =\left(\frac{21}{16} \right)^{n+1}$$
2^ème étape : Calcul de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ puis comparer de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ à $$1$$.
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\left(\frac{21}{16} \right)^{n+1} }{\left(\frac{21}{16} \right)^{n} }$$ . Rappel : $$\frac{a^{n} }{a^{m} } =a^{n-m}$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\left(\frac{21}{16} \right)^{n+1-n}$$
D'où:
Or $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \ge 1$$ .
Pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.

Attention, ici, on vérifie aisément que $$u_{n} <0$$ . En effet, pour tout entier naturel $$n$$, on sait que $$4^{n}>0$$ mais que $$-2<0$$.
Comme $$u_{n} <0$$, nous ne pouvons pas utiliser la méthode $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$.
Nous devons donc utiliser la méthode $$u_{n+1}-u_{n}$$.
Il vient alors que :
$$u_{n+1} -u_{n} =-2\times 4^{n+1} -\left(-2\times 4^{n} \right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-2\times 4^{n+1} +2\times 4^{n}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-2\times 4^{n} \times 4+2\times 4^{n}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-\red{2\times 4^{n}} \times 4+\red{2\times 4^{n}}\times1$$ . Nous allons factoriser par $$\red{2\times 4^{n}}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\red{2\times 4^{n}} \times \left(-4+1\right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =2\times 4^{n} \times \left(-3\right)$$
Ainsi :
Pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$4^{n}>0$$ et $$-6<0$$.
Il en résulte donc que : $$u_{n+1} -u_{n}<0$$.
Pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.

Tout d'abord, nous vérifions que pour tout entier naturel $$n$$ on a bien $$u_{n}>0$$
De plus, $$u_{n} =n\times \left(\frac{1}{2} \right)^{n}$$ nous avons donc : $$u_{n+1} =\left(n+1\right)\times \left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\left(n+1\right)\times \left(\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{n\times \left(\frac{1}{2} \right)^{n} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\left(n+1\right)}{n} \times \frac{\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{\left(\frac{1}{2} \right)^{n} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\left(n+1\right)}{n} \times \left(\frac{1}{2} \right)^{n+1-n}$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\left(n+1\right)}{n} \times \frac{1}{2}$$

Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on a : $$n\ge1$$ et donc $$n+\red{n}\ge \red{n}+1$$ autrement dit $$2n\ge n+1$$.
Il en résulte donc que : $$\frac{n+1}{2n}\le1$$.
Il vient alors que :
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.

Nous avons supposé ici que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est positive pour tout entier naturel $$n$$ .
Ainsi :
$$u_{n+1} =7u_{n} \Leftrightarrow \frac{u_{n+1} }{u_{n} } =7$$
Il vient alors que :
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.

Nous avons supposé ici que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est positive pour tout entier naturel $$n$$ non nul.
Ainsi :
$$u_{n+1} =2nu_{n} \Leftrightarrow \frac{u_{n+1} }{u_{n} } =2n$$ . Or $$n$$ est un entier naturel non nul, donc $$n\ge1$$ . De ce fait, $$2n\ge2>1$$
Il vient alors que :
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.