Vecteurs colinéaires - Exercice 3

$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {0-2} \\ {1-5} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-4} \end{array}\right)$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ : $$\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {2-8} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-6} \end{array}\right)$$
Or : $$\left(-2\right)\times \left(-6\right)-\left(-4\right)\times \left(-3\right)=12-12=0$$.
Les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{CD}$$ sont colinéaires.
Les droites $$\left(AB\right)$$ et $$\left(CD\right)$$ sont parallèles.

On sait que le point $$D$$ appartient à l'axe des abscisses, il en résulte donc que $$D\left(x_D;0\right)$$.
Calculons maintenant les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{CD}$$
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$\vec{AB} \left(\begin{array}{c} {5-2} \\ {7-4} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_D-3} \\ {0-9} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_D-3} \\ {-9} \end{array}\right)$$
Les droites $$\left(AB\right)$$ et $$\left(CD\right)$$ sont parallèles.
Les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{CD}$$ sont donc colinéaires. Ainsi :
$$3\times (-9)-3\times \left(x_D-3\right)=0$$
$$-27-3x_D+9=0$$
$$-3x_D-18=0$$
$$-3x_D=18$$
$$x_D=\frac{18}{-3}$$
$$x_D=-6$$
Les coordonnées du point $$D$$ sont alors : $$D\left(-6;0\right)$$