Soient u et v deux vecteurs. Pour chacun des cas, indiquez si les vecteurs sont colinéaires.
Question 1
u(1;2) et v(−2;4)
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
On a : 1×4−2×(−2)=4+4=8=0 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.
Question 2
u(3−6) et v(−12)
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
On a : 3×2−(−6)×(−1)=6−6=0 Les vecteurs u et v sont colinéaires.
Question 3
Le plan est muni du repère (0;i;j) . Montrer que les vecteurs u=72i−27j et v=4i−49j sont colinéaires.
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
Nous pouvons écrire les vecteurs u=72i−27j et v=4i−49j à l'aide de coordonnées. Il vient alors que : u(72−27) et v(4−49). On a : 72×(−49)−(−27)×4=0 Les vecteurs u et v sont colinéaires.
Question 4
u(3;4) et v(0;8)
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
On a : 3×8−0×4=24=0 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.