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Vecteurs colinéaires - Exercice 1

10 min
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Soient u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs.
Pour chacun des cas, indiquez si les vecteurs sont colinéaires.
Question 1

u(1;2)\overrightarrow{u} \left(1;2\right) et v(2;4)\overrightarrow{v} \left(-2;4\right)

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×yx×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 1×42×(2)=4+4=801\times 4-2\times \left(-2\right)=4+4=8\ne 0
Les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.
Question 2

u(36)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-6} \end{array}\right) et v(12)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×yx×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 3×2(6)×(1)=66=03\times 2-\left(-6\right)\times \left(-1\right)=6-6=0
Les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont colinéaires.
Question 3

Le plan est muni du repère (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) . Montrer que les vecteurs u=27i72j\overrightarrow{u}=\frac{2}{7}\overrightarrow{i}-\frac{7}{2}\overrightarrow{j} et v=4i49j\overrightarrow{v}=4\overrightarrow{i}-49\overrightarrow{j} sont colinéaires.

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×yx×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
Nous pouvons écrire les vecteurs u=27i72j\overrightarrow{u}=\frac{2}{7}\overrightarrow{i}-\frac{7}{2}\overrightarrow{j} et v=4i49j\overrightarrow{v}=4\overrightarrow{i}-49\overrightarrow{j} à l'aide de coordonnées.
Il vient alors que :
u(2772)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {\frac{2}{7}} \\ {-\frac{7}{2}} \end{array}\right) et v(449)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-49} \end{array}\right).
On a : 27×(49)(72)×4=0\frac{2}{7} \times \left(-49\right)-\left(-\frac{7}{2}\right)\times 4=0
Les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont colinéaires.
Question 4

u(3;4)\overrightarrow{u} \left(3;4\right) et v(0;8)\overrightarrow{v} \left(0;8\right)

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×yx×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 3×80×4=2403\times 8-0\times 4=24\ne 0
Les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.