Géométrie repérée : équation de droite, vecteur normal et équation de cercle

Un problème pour vérifier que toutes les notions sont comprises - Exercice 1

30 min
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Question 1
On donne les points A(2;4)A\left(-2;4\right), B(2;2)B\left(2;2\right) et C(5;0)C\left(-5;0\right) et le point DD tel que : CD=2AB\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB} .

Quelle est la nature du quadrilatère ABDCABDC ?

Correction
Nous savons que CD=2AB\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB} . Les vecteurs CD\overrightarrow{CD} et AB\overrightarrow{AB} sont colinéaires.
Il en résulte donc que les cotés [CD]\left[CD\right] et [AB]\left[AB\right] sont parallèles.
Le quadrilatère ABDCABDC est alors un trapèze.
Question 2

Déterminer les coordonnées du point DD.

Correction
Notons D(xD;yD)D\left(x_{D};y_{D} \right) les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs CD\overrightarrow{CD} et AB\overrightarrow{AB}.
CD(xDxCyDyC)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-x_{C}} \\ {y_{D}-y_{C}} \end{array}\right) ainsi CD(xD(5)yD0)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-\left(-5\right)} \\ {y_{D}-0} \end{array}\right) d'où : CD(xD+5yD)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}+5} \\ {y_{D}} \end{array}\right)
AB(xBxAyByA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB(2(2)24)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2-\left(-2\right)} \\ {2-4} \end{array}\right) d'où : AB(42)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right)
De plus : 2AB(4×22×2)2\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4\times2} \\ {-2\times2} \end{array}\right) ainsi 2AB(84)2\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {8} \\ {-4} \end{array}\right).
Or nous savons que : CD=2AB\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB} .
Il vient alors que :
(xD+5yD)=(84)\left(\begin{array}{c} {x_{D}+5} \\ {y_{D}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {8} \\ {-4} \end{array}\right)
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
{xD+5=8yD=4\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{D}+5} & {=} & {8} \\ {y_{D}} & {=} & {-4} \end{array}\right.
Ainsi :
{xD=85yD=4\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{D}} & {=} & {8-5} \\ {y_{D}} & {=} & {-4} \end{array}\right.
{xD=3yD=4\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{D}} & {=} & {3} \\ {y_{D}} & {=} & {-4} \end{array}\right.

Les coordonnées du point DD sont alors D(3;4)D\left(3;-4\right)
Question 3
Soit (d)\left(d\right) la droite d'équation : 6x+y14=06x+y-14=0.

Donner un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right).

Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0 où le vecteur u(ba)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right) est un vecteur directeur de cette droite.
On note u\overrightarrow{u} un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right).
Ainsi : u(16)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {6} \end{array}\right)
Question 4

Vérifier que les points BB et DD appartiennent à (d)\left(d\right).

Correction
Nous savons que B(2;2)B\left(2;2\right) et D(3;4)D\left(3;-4\right) . De plus l'équation cartésienne de la droite (d)\left(d\right) est 6x+y14=06x+y-14=0.
Le point B(2;2)B\left(2;2\right) appartient à l'équation cartésienne 6x+y14=06x+y-14=0 si les coordonnées de BB vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que 6xB+yB14=06x_{B} +y_{B} -14=0.
Il vient alors que :
6xB+yB14=6×2+2146x_{B} +y_{B} -14=6\times 2+2-14
6xB+yB14=12+2146x_{B} +y_{B} -14=12+2-14
6xB+yB14=06x_{B} +y_{B} -14= 0
Il en résulte que le point B(2;2)B\left(2;2\right) appartient bien à l'équation cartésienne 6x+y14=06x+y-14=0.
Le point D(3;4)D\left(3;-4\right) appartient à l'équation cartésienne 6x+y14=06x+y-14=0 si les coordonnées de DD vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que 6xD+yD14=06x_{D} +y_{D} -14=0.
Il vient alors que :
6xD+yD14=6×34146x_{D} +y_{D} -14=6\times 3-4-14
6xD+yD14=184146x_{D} +y_{D} -14=18-4-14
6xD+yD14=06x_{D} +y_{D} -14= 0
Il en résulte que le point D(3;4)D\left(3;-4\right) appartient bien à l'équation cartésienne 6x+y14=06x+y-14=0.
Question 5

Déterminer une équation cartésienne de la droite (AC)\left(AC\right).

Correction
Commençons par calculer le vecteur AC\overrightarrow{AC}.
AC(xCxAyCyA)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right) d'où : AC(34)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right)
AC(34)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right) est un vecteur directeur de la droite (AC)\left(AC\right).
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0 où le vecteur u(ba)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right) est un vecteur directeur de cette droite.
AC(34)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right) étant un vecteur directeur de (AC)\left(AC \right), on en déduit que : b=3-b=-3 et a=4a=-4. D'où : b=3b=3 et a=4a=-4.
Ainsi , on a : 4x+3y+c=0-4x+3y+c=0.
Or le point A(2;4)A\left(-2;4\right) appartient à la droite (AC)\left(AC \right), donc les coordonnées du point A(2;4)A\left(-2;4\right) vérifie 4x+3y+c=0-4x+3y+c=0.
Il vient alors que :
4xA+3yA+c=0-4x_{A} +3y_{A} +c=0
4×(2)+3×4+c=0-4\times\left(-2\right)+3\times 4+c=0
8+12+c=08+12+c=0
20+c=020+c=0
c=20c=-20
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (AC)\left(AC \right) admettant u(34)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {4} \end{array}\right) comme vecteur directeur et passant par le point A(2;4)A\left(-2;4\right) est : 4x+3y20=0-4x+3y-20=0.
Question 6

Prouver que les droites (BD)\left(BD\right) et (AC)\left(AC\right) sont sécantes.

Correction
D'après la question 55, l'équation cartésienne de la droite (AC)\left(AC \right) est : 4x+3y20=0-4x+3y-20=0.
D'après la question 44, nous avons vu que les points BB et DD appartiennent à la droite (d)\left(d\right) : 6x+y14=06x+y-14=0.
Il en résulte donc que l'équation cartésienne de la droite (BD)\left(BD\right) est : 6x+y14=06x+y-14=0.
Un vecteur directeur de la droite (BD)\left(BD\right) est v(16)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {6} \end{array}\right)
Un vecteur directeur de la droite (AC)\left(AC\right) est AC(34)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right)
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×yx×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\vec{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et u(xy)\vec{u} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 1×(4)6×(3)=4+18=220-1\times \left(-4\right)-6\times \left(-3\right)=4+18=22\ne 0
Les vecteurs AC\overrightarrow{AC} et v\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires. Les droites (BD)\left(BD\right) et (AC)\left(AC\right) ne sont pas parallèles, elle sont sécantes.
Question 7

Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection EE.

Correction
D'après la question 55, l'équation cartésienne de la droite (AC)\left(AC \right) est : 4x+3y20=0-4x+3y-20=0.
D'après la question 44, l'équation cartésienne de la droite (BD)\left(BD\right) est : 6x+y14=06x+y-14=0.
Il nous faut résoudre le système suivant :
{4x+3y20=06x+y14=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x} & {+} & {3y} & {-} & {20} & {=} & {0} \\ {6x} & {+} & {y} & {-} & {14} & {=} & {0} \end{array}\right. . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par 11 et la deuxième ligne par 3-3 afin que les coefficients devant les yy soient opposées. Il vient alors que :
{4x+3y20=018x+3y+42=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x} & {+} & {3y} & {-} & {20} & {=} & {0} \\ {-18x} & {+} & {-3y} & {+} & {42} & {=} & {0} \end{array}\right. . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
{4x+3y20=04x+3y20+(18x3y+42)=0\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+3y-20} & {=} & {0} \\ {-4x+3y-20+\left(-18x-3y+42\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.
{4x+3y20=022x+0y+22=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x} & {+} & {3y} & {-} & {20} & {=} & {0} \\ {-22x} & {+} & {0y} & {+} & {22} & {=} & {0} \end{array}\right. . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
{4x+3y20=022x=22\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x+3y-20} & {=} & {0} \\ {-22x} & {=} & {-22} \end{array}\right.
{4x+3y20=0x=2222\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x+3y-20} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {\frac{-22}{-22}} \end{array}\right.
{4x+3y20=0x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x+3y-20} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.
{4×1+3y20=0x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4\times1+3y-20} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.
{4×1+3y20=0x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4\times1+3y-20} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.
{24+3y=0x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {-24+3y} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.
{3y=24x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {3y} & {=} & {24} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.
{y=243x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {\frac{24}{3}} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.
{y=8x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {8} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.
Les coordonnées de leur point d'intersection EE est alors E(1;8)E\left(1;8\right).
Question 8

Calculer les coordonnées de KK milieu de [AB]\left[AB\right] et LL milieu de [CD]\left[CD\right].

Correction
On donne les points A(2;4)A\left(-2;4\right), B(2;2)B\left(2;2\right) , C(5;0)C\left(-5;0\right) et D(3;4)D\left(3;-4\right).
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D'une part :
xK=xA+xB2x_{K} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} équivaut successivement à :
xK=2+22x_{K} =\frac{-2+2 }{2}
xK=02x_{K} =\frac{0}{2}
xK=0x_{K} =0

D'autre part :
yK=yA+yB2y_{K} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2} équivaut successivement à :
yK=4+22y_{K} =\frac{4+2 }{2}
yK=62y_{K} =\frac{6}{2}
yK=3y_{K} =3
. Les coordonnées de KK milieu de [AB]\left[AB\right] sont K(0;3)K\left(0;3\right)
Nous effectuons la même méthode pour trouver les coordonnées LL milieu de [CD]\left[CD\right]. Nous obtiendrons alors L(1;2)L\left(-1;-2\right)
Question 9

Démontrer que les points EE, KK et LL sont alignés.

Correction
Nous savons que K(0;3)K\left(0;3\right) ; L(1;2)L\left(-1;-2\right) et E(1;8)E\left(1;8\right).
  • Les points EE, KK et LL sont alignés si, et seulement si les vecteurs EK\overrightarrow{EK} et KL\overrightarrow{KL} sont colinéaires.
On commence par calculer les vecteurs EK\vec{EK} et KL\overrightarrow{KL}. Ainsi :
EK(xKxEyKyE)\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {x_{K}-x_{E}} \\ {y_{K}-y_{E}} \end{array}\right) ainsi EK(0138)\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {0-1} \\ {3-8} \end{array}\right) d'où : EK(15)\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-5} \end{array}\right)
KL(xLxKyLyK)\overrightarrow{KL} \left(\begin{array}{c} {x_{L}-x_{K}} \\ {y_{L}-y_{K}} \end{array}\right) ainsi KL(1023)\overrightarrow{KL} \left(\begin{array}{c} {-1-0} \\ {-2-3} \end{array}\right) d'où : KL(15)\overrightarrow{KL} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-5} \end{array}\right)
Or : KL=EK\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{EK} ainsi les vecteurs KL\overrightarrow{KL} et EK\overrightarrow{EK} sont colinéaires.
Donc les points EE, KK et LL sont bien alignés.