Mise en situation : Droites remarquables dans un triangle (hauteurs et médiatrices) - Exercice 1

La hauteur issue de $$A$$ dans le triangle $$ABC$$ passe donc par le point $$A$$ et est perpendiculaire à la droite $$\left(CB\right).$$ Autrement dit, le vecteur $$\overrightarrow{CB}$$ est un vecteur normal à la hauteur issue de $$A$$.
Calculons le vecteur $$\overrightarrow{CB}$$ .
$$\overrightarrow{CB}\left( \begin{array}{c}x_B-x_c \\ y_B-y_c \end{array}\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{CB}\left( \begin{array}{c}3-\left(-1\right) \\ 3-2\end{array}\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{CB}\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{CB} \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)$$ étant un vecteur normal de la hauteur issue de $$A$$ dans le triangle $$ABC$$, on en déduit que : $$a=4$$ et $$b=1$$.
Ainsi , on a : $$4x+y+c=0$$.
Or le point $$A\left(\mathrm{4}\mathrm{;}\mathrm{0}\right)$$ appartient à la hauteur issue de $$A$$ dans le triangle $$ABC$$, donc les coordonnées du point $$A\left(4;0\right)$$ vérifie $$4x+y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$4x_{A} +y_{A} +c=0$$
$$4\times4+0+c=0$$
$$16+0+c=0$$
$$16+c=0$$
$$c=-16$$
Finalement, l'équation cartésienne de la hauteur issue de $$A$$ dans le triangle $$ABC$$ est :

Notons $$\left(d\right)$$ la médiatrice du segment $$\left[AB\right]$$.
$$\left(d\right)$$ est perpendiculaire au segment $$\left[AB\right]$$ et passe par le milieu du segment $$\left[AB\right]$$ .
Autrement dit, le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ est un vecteur normal à $$\left(d\right)$$ .
Calculons le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ .
$$\overrightarrow{AB}\left( \begin{array}{c}x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{array}\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}\left( \begin{array}{c}7-2 \\ 2-4\end{array}\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}\left( \begin{array}{c}5 \\ -2 \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB}\left( \begin{array}{c}5 \\ -2 \end{array}\right)$$ étant un vecteur normal de la médiatrice du segment $$\left[AB\right]$$ , on en déduit que : $$a=5$$ et $$b=-2$$.
Ainsi , on a : $$5x-2y+c=0$$.
Il nous faut maintenant un point appartenant à la médiatrice du segment $$\left[AB\right]$$. Le milieu du segment $$\left[AB\right]$$ noté $$I$$ appartient à la médiatrice du segment $$\left[AB\right]$$.
Ainsi :
$$I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$
$$I\left(\frac{2+7}{2};\frac{4+2}{2}\right)$$
$$I\left(\frac{9}{2};\frac{6}{2}\right)$$
$$I\left(\frac{9}{2};3\right)$$
Les coordonnées du point $$I\left(\frac{9}{2};3\right)$$ vérifie $$5x-2y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$5x_{I} -2y_{I} +c=0$$
$$5 \times\frac{9}{2} -2\times 3 +c=0$$
$$\frac{45}{2}-6 +c=0$$
$$\frac{33}{2}+c=0$$
$$c=-\frac{33}{2}$$
Finalement, l'équation cartésienne de la médiatrice du segment $$\left[AB\right]$$ est :

Notons $$\left(d_{1} \right)$$ l'équation cartésienne de la médiane issue de $$A$$ dans le triangle $$ABC$$.
La médiane issue de $$A$$ dans le triangle $$ABC$$ passe par le milieu du segment $$\left[BC\right]$$.
Notons $$I$$ le milieu du segment $$\left[BC\right]$$.
Ainsi :
$$I\left(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2}\right)$$
$$I\left(\frac{4+8}{2};\frac{7+0}{2}\right)$$
$$I\left(6;\frac{7}{2}\right)$$
De plus $$\overrightarrow{AI}$$ est un vecteur directeur de la médiane notée $$\left(d_{1} \right)$$ . On a alors :
$$\overrightarrow{AI} \left(\begin{array}{c} {6-3} \\ {\dfrac{7}{2}-4} \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\overrightarrow{AI} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-\dfrac{1}{2}} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de $$\left(d_{1} \right)$$, on en déduit que : $$-b=3$$ et $$a=-\dfrac{1}{2}$$. D'où : $$b=-3$$ et $$a=-\dfrac{1}{2}$$
Ainsi , on a : $$-\dfrac{1}{2}x-3y+c=0$$.
Or le point $$A\left(3;4\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{1} \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(3;4\right)$$ vérifie $$-\dfrac{1}{2}x-3y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-\dfrac{1}{2}\times x_A-3\times y_A+c=0$$
$$-\dfrac{1}{2}\times3-3\times4+c=0$$
$$-\dfrac{27}{2}+c=0$$
$$c=\dfrac{27}{2}$$
Finalement, l'équation cartésienne de la médiane issue de $$A$$ dans le triangle $$ABC$$ s'écrit : .