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Géométrie repérée : équation de droite, vecteur normal et équation de cercle

Mise en situation : Droites remarquables dans un triangle (hauteurs et médiatrices) - Exercice 1

15 min
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Question 1

On considère un repère orthonormé du plan (O;i;j)\left(O\mathrm{;}\overrightarrow{i}\mathrm{;}\overrightarrow{j}\right) .
On considère les points A(4;0)A\left(\mathrm{4}\mathrm{;}\mathrm{0}\right) , B(3;3)B\left(\mathrm{3}\mathrm{;}\mathrm{3}\right) et C(1;2)C\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{;}\mathrm{2}\right) .
Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de AA dans le triangle ABCABC.

Correction
La hauteur issue de AA dans le triangle ABCABC passe donc par le point AA et est perpendiculaire à la droite (CB).\left(CB\right). Autrement dit, le vecteur CB\overrightarrow{CB} est un vecteur normal à la hauteur issue de AA.
Calculons le vecteur CB\overrightarrow{CB} .
CB(xBxcyByc)CB(3(1)32)CB(41)\overrightarrow{CB}\left( \begin{array}{c}x_B-x_c \\ y_B-y_c \end{array}\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{CB}\left( \begin{array}{c}3-\left(-1\right) \\ 3-2\end{array}\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{CB}\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \end{array}\right)
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0 où le vecteur n(ab)\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {a} \\ {b} \end{array}\right) est un vecteur normal de cette droite.
CB(41)\overrightarrow{CB} \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right) étant un vecteur normal de la hauteur issue de AA dans le triangle ABCABC, on en déduit que : a=4a=4 et b=1b=1.
Ainsi , on a : 4x+y+c=04x+y+c=0.
Or le point A(4;0)A\left(\mathrm{4}\mathrm{;}\mathrm{0}\right) appartient à la hauteur issue de AA dans le triangle ABCABC, donc les coordonnées du point A(4;0)A\left(4;0\right) vérifie 4x+y+c=04x+y+c=0.
Il vient alors que :
4xA+yA+c=04x_{A} +y_{A} +c=0
4×4+0+c=04\times4+0+c=0
16+0+c=016+0+c=0
16+c=016+c=0
c=16c=-16
Finalement, l'équation cartésienne de la hauteur issue de AA dans le triangle ABCABC est :
4x+y16=04x+y-16=0
Question 2

On considère un repère orthonormé du plan (O;i;j)\left(O\mathrm{;}\overrightarrow{i}\mathrm{;}\overrightarrow{j}\right) .
On considère les points A(2;4)A\left(2;4\right) , B(7;2)B\left(7;2\right) et C(5;6)C\left(5;6\right) .
Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB]\left[AB\right] .

Correction
Notons (d)\left(d\right) la médiatrice du segment [AB]\left[AB\right].
(d)\left(d\right) est perpendiculaire au segment [AB]\left[AB\right] et passe par le milieu du segment [AB]\left[AB\right] .
Autrement dit, le vecteur AB\overrightarrow{AB} est un vecteur normal à (d)\left(d\right) .
Calculons le vecteur AB\overrightarrow{AB} .
AB(xBxAyByA)AB(7224)AB(52)\overrightarrow{AB}\left( \begin{array}{c}x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{array}\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}\left( \begin{array}{c}7-2 \\ 2-4\end{array}\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}\left( \begin{array}{c}5 \\ -2 \end{array}\right)
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0 où le vecteur n(ab)\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {a} \\ {b} \end{array}\right) est un vecteur normal de cette droite.
AB(52)\overrightarrow{AB}\left( \begin{array}{c}5 \\ -2 \end{array}\right) étant un vecteur normal de la médiatrice du segment [AB]\left[AB\right] , on en déduit que : a=5a=5 et b=2b=-2.
Ainsi , on a : 5x2y+c=05x-2y+c=0.
Il nous faut maintenant un point appartenant à la médiatrice du segment [AB]\left[AB\right]. Le milieu du segment [AB]\left[AB\right] noté II appartient à la médiatrice du segment [AB]\left[AB\right].
Ainsi :
I(xA+xB2;yA+yB2)I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)
I(2+72;4+22)I\left(\frac{2+7}{2};\frac{4+2}{2}\right)
I(92;62)I\left(\frac{9}{2};\frac{6}{2}\right)
I(92;3)I\left(\frac{9}{2};3\right)
Les coordonnées du point I(92;3)I\left(\frac{9}{2};3\right) vérifie 5x2y+c=05x-2y+c=0.
Il vient alors que :
5xI2yI+c=05x_{I} -2y_{I} +c=0
5×922×3+c=05 \times\frac{9}{2} -2\times 3 +c=0
4526+c=0\frac{45}{2}-6 +c=0
332+c=0\frac{33}{2}+c=0
c=332c=-\frac{33}{2}
Finalement, l'équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB]\left[AB\right] est :
5x2y332=05x-2y-\frac{33}{2}=0

Question 3

On considère un repère orthonormé du plan (O;i;j)\left(O\mathrm{;}\overrightarrow{i}\mathrm{;}\overrightarrow{j}\right) .
On considère les points A(3;4)A\left(3;4\right) , B(4;7)B\left(4;7\right) et C(8;0)C\left(8;0\right) .
Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de AA dans le triangle ABCABC.

Correction
Notons (d1)\left(d_{1} \right) l'équation cartésienne de la médiane issue de AA dans le triangle ABCABC.
La médiane issue de AA dans le triangle ABCABC passe par le milieu du segment [BC]\left[BC\right].
Notons II le milieu du segment [BC]\left[BC\right].
Ainsi :
I(xB+xC2;yB+yC2)I\left(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2}\right)
I(4+82;7+02)I\left(\frac{4+8}{2};\frac{7+0}{2}\right)
I(6;72)I\left(6;\frac{7}{2}\right)
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0 où le vecteur u(ba)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right) est un vecteur directeur de cette droite.
De plus AI\overrightarrow{AI} est un vecteur directeur de la médiane notée (d1)\left(d_{1} \right) . On a alors :
AI(63724)\overrightarrow{AI} \left(\begin{array}{c} {6-3} \\ {\dfrac{7}{2}-4} \end{array}\right)
Ainsi :
AI(312)\overrightarrow{AI} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-\dfrac{1}{2}} \end{array}\right) étant un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right), on en déduit que : b=3-b=3 et a=12a=-\dfrac{1}{2}. D'où : b=3b=-3 et a=12a=-\dfrac{1}{2}
Ainsi , on a : 12x3y+c=0-\dfrac{1}{2}x-3y+c=0.
Or le point A(3;4)A\left(3;4\right) appartient à la droite (d1)\left(d_{1} \right), donc les coordonnées du point A(3;4)A\left(3;4\right) vérifie 12x3y+c=0-\dfrac{1}{2}x-3y+c=0.
Il vient alors que :
12×xA3×yA+c=0-\dfrac{1}{2}\times x_A-3\times y_A+c=0
12×33×4+c=0-\dfrac{1}{2}\times3-3\times4+c=0
272+c=0-\dfrac{27}{2}+c=0
c=272c=\dfrac{27}{2}
Finalement, l'équation cartésienne de la médiane issue de AA dans le triangle ABCABC s'écrit :
12x3y+272=0-\dfrac{1}{2}x-3y+\dfrac{27}{2}=0
.