Géométrie repérée : équation de droite, vecteur normal et équation de cercle
Exercices types : 4ème partie
Exercice 1
On donne l'équation d'un cercle Cf de la forme (x+4)2+(y−2)2=25
1
Tracer la représentation graphique de Cf dans un repère (O;i;j).
Correction
L’équation cartésienne d'un cercle de centre Ω de coordonnée (a;b) et de rayon r est donnée par la formule :(x−a)2+(y−b)2=r2
Ici l'équation du cercle Cf est de la forme (x+4)2+(y−2)2=25. On peut donc l'écrire également :(x−(−4))2+(y−2)2=52. Avec a=−4,y=2etr=5. On peut donc conclure que Cf est l'équation d'un cercle de centre Ω de coordonnée (−4,2) et de rayon 5.
On donne l'équation d'un cercle Cf de la forme (x+3)2+(y−1)2=16
2
Tracer la représentation graphique de Cf dans un repère (O;i;j).
Correction
L’équation cartésienne d'un cercle de centre Ω de coordonnée (a;b) et de rayon r est donnée par la formule :(x−a)2+(y−b)2=r2
Ici l'équation du cercle Cf est de la forme (x+3)2+(y−1)2=16. On peut donc l'écrire également :(x−(−3))2+(y−1)2=42. Avec a=−3,y=1etr=4. On peut donc conclure que Cf est l'équation d'un cercle de centre Ω de coordonnée (−3,1) et de rayon 4.
On donne l'équation d'un cercle Cf de la forme (x−5)2+(y−2)2=4
3
Tracer la représentation graphique de Cf dans un repère (O;i;j).
Correction
L’équation cartésienne d'un cercle de centre Ω de coordonnée (a;b) et de rayon r est donnée par la formule :(x−a)2+(y−b)2=r2
Ici l'équation du cercle Cf est de la forme (x−5)2+(y−2)2=4. On peut donc l'écrire également :(x−5)2+(y−2)2=22. Avec a=5,y=2etr=2. On peut donc conclure que Cf est l'équation d'un cercle de centre Ω de coordonnée (5,2) et de rayon 2.
On donne l'équation d'un cercle Cf de la forme (x−1)2+(y+5)2=10
4
Tracer la représentation graphique de Cf dans un repère (O;i;j).
Correction
L’équation cartésienne d'un cercle de centre Ω de coordonnée (a;b) et de rayon r est donnée par la formule :(x−a)2+(y−b)2=r2
Ici l'équation du cercle Cf est de la forme (x−1)2+(y+5)2=10. On peut donc l'écrire également :(x−1)2+(y−(−5))2=(10)2. Avec a=1,y=−5etr=10. On peut donc conclure que Cf est l'équation d'un cercle de centre Ω de coordonnée (1,−5) et de rayon 10.
Exercice 2
Considérons les 4 droites ci-dessous. Les vecteurs v1,v2,v3, et v4 sont soit des vecteurs normaux ou soit des vecteurs directeurs de ces droites.
1
La droite (d3) a pour vecteur directeur : a.v1b.v2c.v3d.v4
Correction
On appelle vecteur directeur de (d) tout vecteur non nul u qui possède la même direction que la droite (d).
D'après les figures ci-dessous, nous voyons que v1 et v4 sont bien des vecteurs directeurs de la droite (d3) .
2
La droite (d4) a pour vecteur normal : a.v1b.v2c.v3d.v4
Correction
Un vecteur normal est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de la droite. Autrement dit, c'est un vecteur orthogonal à la droite .
D'après les figures ci-dessous, nous voyons que v2 et v3 sont bien des vecteurs normaux à la droite (d4) .
3
Le vecteur v1 est un vecteur normal à la droite : a.d1b.d2c.d3d.d4
Correction
Un vecteur normal est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de la droite. Autrement dit, c'est un vecteur orthogonal à la droite .
D'après la figure ci-dessous, nous voyons que v1 est un vecteur normal à la droite (d2) et également un vecteur normal à la droite (d1).
4
Le vecteur v4 est un vecteur normal à la droite : a.d1b.d2c.d3d.d4
Correction
Un vecteur normal est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de la droite. Autrement dit, c'est un vecteur orthogonal à la droite .
D'après la figure ci-dessous, nous voyons que v4 est un vecteur normal de la droite (d2) et également un vecteur normal de la droite (d1).
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