Géométrie repérée : équation de droite, vecteur normal et équation de cercle

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

20 min
35
Dans chaque cas, déterminer une équation de la droite (d)\left(d\right)
Question 1

Passant par le point A(2;3)A\left(-2;3\right) et de vecteur directeur u(14)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \end{array}\right)

Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0 où le vecteur u(ba)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right) est un vecteur directeur de cette droite.
u(14)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \end{array}\right) étant un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right), on en déduit que : b=1b=1 et a=4a=4.
Ainsi , on a : 4x+y+c=04x+y+c=0.
Or le point A(2;3)A\left(-2;3\right) appartient à la droite (d)\left(d\right), donc les coordonnées du point A(2;3)A\left(-2;3\right) vérifie 4x+y+c=04x+y+c=0.
Il vient alors que :
4xA+yA+c=04x_{A} +y_{A} +c=0
4×(2)+3+c=04\times \left(-2\right)+3+c=0
8+3+c=0-8+3+c=0
5+c=0-5+c=0
c=5c=5
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d)\left(d\right) admettant u(14)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \end{array}\right) comme vecteur directeur et passant par le point A(2;3)A\left(-2;3\right) est : 4x+y+5=04x+y+5=0.
Question 2

Passant par les points B(5;3)B\left(-5;-3\right) et C(1;4)C\left(1;-4\right)

Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0 où le vecteur u(ba)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right) est un vecteur directeur de cette droite.
Nous allons calculer le vecteur BC\overrightarrow{BC} qui sera un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right).
BC(1(5)4(3))\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {1-\left(-5\right)} \\ {-4-\left(-3\right)} \end{array}\right) d'où BC(61)\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-1} \end{array}\right)
BC(61)\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-1} \end{array}\right) étant un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right), on en déduit que : b=6b=-6 et a=1a=-1.
Ainsi , on a : x6y+c=0-x-6y+c=0.
Or le point B(5;3)B\left(-5;-3\right) appartient à la droite (d)\left(d\right), donc les coordonnées du point B(5;3)B\left(-5;-3\right) vérifie x6y+c=0-x-6y+c=0.
Il vient alors que :
xB6yB+c=0-x_{B} -6y_{B} +c=0
(5)6×(3)+c=0-\left(-5\right)-6\times \left(-3\right)+c=0
5+18+c=05+18+c=0
23+c=023+c=0
c=23c=-23
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (BC)\left(BC\right) autrement dit la droite (d)\left(d\right) est : x6y23=0-x-6y-23=0.
Question 3

Passant par le point D(2;3)D\left(-2;3\right) et de vecteur directeur u=3i+2j\vec{u} =-3\vec{i} +2\vec{j}

Correction
Le vecteur directeur u=3i+2j\overrightarrow{u} =-3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} s'écrit également : u(32)\vec{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right).
u(32)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right) étant un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right), on en déduit que : b=3b=3 et a=2a=2.
Ainsi, on a : 2x+3y+c=02x+3y+c=0.
Or le point D(2;3)D\left(-2;3\right) appartient à la droite (d)\left(d\right), donc les coordonnées du point D(2;3)D\left(-2;3\right) vérifie 2x+3y+c=02x+3y+c=0.
Il vient alors que :
2xD+3yD+c=02x_{D} +3y_{D} +c=0
2×(2)+3×3+c=02\times \left(-2\right)+3\times 3+c=0
4+9+c=0-4+9+c=0
5+c=05+c=0
c=5c=-5
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d)\left(d\right) admettant u(32)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right) comme vecteur directeur et passant par le point D(2;3)D\left(-2;3\right) est : 2x+3y5=02x+3y-5=0.
Question 4

Passant par le point E(1;1)E\left(1;-1\right) et de coefficient directeur 23\frac{2}{3} .

Correction
La forme réduite d'une droite (vue en classe de seconde) est y=mx+py=mx+pmm est le coefficient directeur et pp l'ordonnée à l'origine.
Ici on sait que m=23m=\frac{2}{3} .
Il en résulte que la droite (d)\left(d\right) s'écrit : y=23x+py=\frac{2}{3} x+p
Or le point E(1;1)E\left(1;-1\right) appartient à la droite (d)\left(d\right), donc les coordonnées du point E(1;1)E\left(1;-1\right) vérifie y=23x+py=\frac{2}{3} x+p.
Il vient alors que :
yE=23xE+py_{E} =\frac{2}{3} x_{E} +p
1=23×1+p-1=\frac{2}{3} \times 1+p
1=23+p-1=\frac{2}{3} +p
123=p-1-\frac{2}{3} =p
53=p.-\frac{5}{3} =p.
Finalement, la forme réduite de la droite passant par le point E(1;1)E\left(1;-1\right) et de coefficient directeur 23\frac{2}{3} est : y=23x53y=\frac{2}{3} x-\frac{5}{3} .
A partir de cette forme réduite, on peut déterminer l'équation cartésienne de la droite (d)\left(d\right).
y=23x53y=\frac{2}{3} x-\frac{5}{3} équivaut successivement à :
y23x+53=0y-\frac{2}{3} x+\frac{5}{3} =0
On va multiplier les membres par 33 afin de ne plus avoir de dénominateur.
3y2x+5=0.3y-2x+5=0.
L'équation cartésienne de la droite (d)\left(d\right) est alors : 2x+3y+5=0-2x+3y+5=0.