Equations cartésienne d'une droite - Exercice 3

$$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de $$\left(d_{1} \right)$$, on en déduit que : $$-b=2$$ et $$a=3$$. D'où : $$b=-2$$ et $$a=3$$
Ainsi , on a : $$3x-2y+c=0$$.
Or le point $$A\left(1;4\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{1} \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(1;4\right)$$ vérifie $$3x-2y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$3x_{A} -2y_{A} +c=0$$
$$3\times 1-2\times 4+c=0$$
$$3-8+c=0$$
$$-5+c=0$$
$$c=5$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{1} \right)$$ admettant $$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$$ comme vecteur directeur et passant par le point $$A\left(1;4\right)$$ est : $$3x-2y+5=0$$.

$$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {1} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de $$\left(d_{2} \right)$$, on en déduit que : $$-b=-3$$ et $$a=1$$. D'où : $$b=3$$ et $$a=1$$.
Ainsi , on a : $$x+3y+c=0$$.
Or le point $$A\left(2;1\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{2} \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(2;1\right)$$ vérifie $$x+3y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$x_{A} +3y_{A} +c=0$$
$$2+3\times 1+c=0$$
$$2+3+c=0$$
$$5+c=0$$
$$c=-5$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{2} \right)$$ admettant $$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {1} \end{array}\right)$$ comme vecteur directeur et passant par le point $$A\left(2;1\right)$$ est : $$x+3y-5=0$$.

$$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-6} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de $$\left(d_{3} \right)$$, on en déduit que : $$-b=5$$ et $$a=-6$$. D'où : $$b=-5$$ et $$a=-6$$.
Ainsi , on a : $$-6x-5y+c=0$$.
Or le point $$A\left(0;2\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{3} \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(0;2\right)$$ vérifie $$-6x-5y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-6x_{A} -5y_{A} +c=0$$
$$-6\times 0-5\times 2+c=0$$
$$-10+c=0$$
$$c=10$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{3} \right)$$ admettant $$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-6} \end{array}\right)$$ comme vecteur directeur et passant par le point $$A\left(0;2\right)$$ est : $$-6x-5y+10=0$$.

$$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de $$\left(d_{4} \right)$$, on en déduit que : $$-b=0$$ et $$a=2$$. D'où : $$b=0$$ et $$a=2$$.
Ainsi , on a : $$2x+0y+c=0$$ c'est à dire $$2x+c=0$$.
Or le point $$A\left(3;-7\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{4} \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(3;-7\right)$$ vérifie $$2x+c=0$$.
Il vient alors que :
$$2x_{A} +c=0$$
$$2\times 3+c=0$$
$$6+c=0$$
$$c=-6$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{4} \right)$$ admettant $$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \end{array}\right)$$ comme vecteur directeur et passant par le point $$A\left(3;-7\right)$$ est : $$2x-6=0$$.