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Géométrie repérée : équation de droite, vecteur normal et équation de cercle
Equations cartésienne d'une droite - Exercice 1
10 min
15
Dans tout cet exercice, on se place dans un repère orthonormé
(
O
;
i
→
;
j
→
)
\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)
(
O
;
i
;
j
)
du plan.
Question 1
Soit
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
une droite dont l'équation cartésienne est :
−
5
x
+
2
y
+
4
=
0
-5x+2y+4=0
−
5
x
+
2
y
+
4
=
0
.
Donner un vecteur directeur de
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Correction
On se place dans un repère orthonormé
(
O
;
i
→
;
j
→
)
\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)
(
O
;
i
;
j
)
du plan
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme
a
x
+
b
y
+
c
=
0
ax+by+c=0
a
x
+
b
y
+
c
=
0
où le vecteur
u
→
(
−
b
a
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right)
u
(
−
b
a
)
est un vecteur directeur de cette droite.
On note
u
→
\overrightarrow{u}
u
un vecteur directeur de la droite
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Ainsi :
u
→
(
−
2
−
5
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-5} \end{array}\right)
u
(
−
2
−
5
)
Question 2
Soit
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
une droite dont l'équation cartésienne est :
x
−
y
+
2
=
0
x-y+2=0
x
−
y
+
2
=
0
.
Donner un vecteur directeur de
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Correction
On se place dans un repère orthonormé
(
O
;
i
→
;
j
→
)
\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)
(
O
;
i
;
j
)
du plan
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme
a
x
+
b
y
+
c
=
0
ax+by+c=0
a
x
+
b
y
+
c
=
0
où le vecteur
u
→
(
−
b
a
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right)
u
(
−
b
a
)
est un vecteur directeur de cette droite.
On note
u
→
\overrightarrow{u}
u
un vecteur directeur de la droite
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Ainsi :
u
→
(
1
1
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)
u
(
1
1
)
.
Question 3
Soit
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
une droite dont l'équation cartésienne est :
4
x
+
7
y
+
2
=
0
4x+7y+2=0
4
x
+
7
y
+
2
=
0
.
Donner un vecteur directeur de
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Correction
On se place dans un repère orthonormé
(
O
;
i
→
;
j
→
)
\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)
(
O
;
i
;
j
)
du plan
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme
a
x
+
b
y
+
c
=
0
ax+by+c=0
a
x
+
b
y
+
c
=
0
où le vecteur
u
→
(
−
b
a
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right)
u
(
−
b
a
)
est un vecteur directeur de cette droite.
On note
u
→
\overrightarrow{u}
u
un vecteur directeur de la droite
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Ainsi :
u
→
(
−
7
4
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {4} \end{array}\right)
u
(
−
7
4
)
.
Question 4
Soit
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
une droite dont l'équation cartésienne est :
2
y
+
4
=
0
2y+4=0
2
y
+
4
=
0
.
Donner un vecteur directeur de
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Correction
On se place dans un repère orthonormé
(
O
;
i
→
;
j
→
)
\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)
(
O
;
i
;
j
)
du plan
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme
a
x
+
b
y
+
c
=
0
ax+by+c=0
a
x
+
b
y
+
c
=
0
où le vecteur
u
→
(
−
b
a
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right)
u
(
−
b
a
)
est un vecteur directeur de cette droite.
On note
u
→
\overrightarrow{u}
u
un vecteur directeur de la droite
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Ainsi :
u
→
(
−
2
0
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {0} \end{array}\right)
u
(
−
2
0
)
.
Question 5
Soit
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
une droite dont l'équation cartésienne est :
−
5
x
+
3
y
−
8
=
0
-5x+3y-8=0
−
5
x
+
3
y
−
8
=
0
.
Donner un vecteur directeur de
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Correction
On se place dans un repère orthonormé
(
O
;
i
→
;
j
→
)
\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)
(
O
;
i
;
j
)
du plan
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme
a
x
+
b
y
+
c
=
0
ax+by+c=0
a
x
+
b
y
+
c
=
0
où le vecteur
u
→
(
−
b
a
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right)
u
(
−
b
a
)
est un vecteur directeur de cette droite.
On note
u
→
\overrightarrow{u}
u
un vecteur directeur de la droite
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Ainsi :
u
→
(
−
3
−
5
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-5} \end{array}\right)
u
(
−
3
−
5
)
.
Question 6
Soit
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
une droite dont l'équation cartésienne est :
−
7
x
=
2
-7x=2
−
7
x
=
2
.
Donner un vecteur directeur de
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Correction
On se place dans un repère orthonormé
(
O
;
i
→
;
j
→
)
\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)
(
O
;
i
;
j
)
du plan
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme
a
x
+
b
y
+
c
=
0
ax+by+c=0
a
x
+
b
y
+
c
=
0
où le vecteur
u
→
(
−
b
a
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right)
u
(
−
b
a
)
est un vecteur directeur de cette droite.
L'équation
−
7
x
=
2
-7x=2
−
7
x
=
2
peut également s'écrire
−
7
x
−
2
=
0
-7x-2=0
−
7
x
−
2
=
0
.
On note
u
→
\overrightarrow{u}
u
un vecteur directeur de la droite
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
.
Ainsi :
u
→
(
0
−
7
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-7} \end{array}\right)
u
(
0
−
7
)
.