Droites sécantes et point d'intersection - Exercice 5

Soit $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{1} \right)$$.
Soit $$\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{2} \right)$$.
Le vecteurs $$\overrightarrow{u_{1} }$$ et $$\overrightarrow{u_{2} }$$ ne sont pas colinéaires car : $$\left(-2\right)\times 2-3\times \left(-2\right)\ne 0$$.
Les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.

Comme les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ sont sécantes, elles admettent un point d'intersection.
Pour déterminer les coordonnées de celui-ci, il nous faut résoudre un système deux équations à deux inconnues.
Il vient alors :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {3x} & {+} & {2y} & {-} & {7} & {=} & {0} \\ {2x} & {+} & {2y} & {-} & {6} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Pour résoudre ce système, nous allons procéder par la méthode par combinaison.
En effet, on observe que les coefficients devant les $$y$$ sont égaux.
Nous pouvons donc soustraire les deux lignes.
On obtient :
$$3x+2y-7-\left(2x+2y-6\right)=0$$
$$3x+2y-7-2x-2y+6=0$$
$$x-1=0$$
$$x=1$$
On remplace maintenant $$x$$ par $$1$$ dans la $$1$$^ère équation du système, il vient alors :
$$3\times 1+2y-7=0$$
$$3+2y-7=0$$
$$2y-4=0$$
$$2y=4$$
$$y=2$$
On s'assure également que $$x=1$$ et $$y=2$$ vérifient la $$2$$^ème équation du système.
Ainsi :
$$2x+2y-6=2\times 1+2\times 2-6$$
$$2x+2y-6=0$$
Il en résulte que les coordonnées du point d'intersection entre $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ est le point que l'on note $$I\left(1;2\right)$$.