Droites sécantes et point d'intersection - Exercice 2

Soit $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {5} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{1} \right)$$.
Soit $$\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{2} \right)$$.
Le vecteurs $$\overrightarrow{u_{1} }$$ et $$\overrightarrow{u_{2} }$$ ne sont pas colinéaires car : $$2\times 3-5\times 3\ne 0$$.
Les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.

L'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{1} \right)$$ est : $$5x-2y-8=0$$.

L'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{2} \right)$$ est : $$3x-3y-3=0$$.

Il nous faut résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {3x-3y-3} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par $$3$$ et la deuxième ligne par $$-2$$ afin que les coefficients devant les $$y$$ soient opposées. Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {15x-6y-24} & {=} & {0} \\ {-6x+6y+6} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {15x-6y-24+\left(-6x+6y+6\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {9x-18} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {9x} & {=} & {18} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {\frac{18}{9}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5\times2-2y-8} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {10-2y-8} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-2y+2} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-2y} & {=} & {-2} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {\frac{-2}{-2}} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {1} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du point d'intersection entre les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ est le point $$E$$ de coordonnées $$E\left(2;1\right)$$.