Droites sécantes et point d'intersection

Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-6} \\ {-1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Le vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ ne sont pas colinéaires car : $\left(-6\right)\times 2-\left(-1\right)\times 1\ne 0$.
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.

Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {5} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Le vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ ne sont pas colinéaires car : $2\times 3-5\times 3\ne 0$.
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.

L'équation cartésienne de la droite $\left(d_{1} \right)$ est : $5x-2y-8=0$.

L'équation cartésienne de la droite $\left(d_{2} \right)$ est : $3x-3y-3=0$.

Il nous faut résoudre le système suivant :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {3x-3y-3} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par $3$ et la deuxième ligne par $-2$ afin que les coefficients devant les $y$ soient opposées. Il vient alors que :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {15x-6y-24} & {=} & {0} \\ {-6x+6y+6} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
$\left\{\begin{array}{ccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {15x-6y-24+\left(-6x+6y+6\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {9x-18} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {9x} & {=} & {18} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {\frac{18}{9}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x-2y-8} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5\times2-2y-8} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {10-2y-8} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-2y+2} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-2y} & {=} & {-2} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {\frac{-2}{-2}} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {1} \\ {x} & {=} & {2} \end{array}\right.$
Les coordonnées du point d'intersection entre les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ est le point $E$ de coordonnées $E\left(2;1\right)$.

Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-6} \\ {2} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-18} \\ {-4} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Le vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ ne sont pas colinéaires car : $-6\times \left(-4\right)-2\times \left(-18\right)\ne 0$.
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.

L'équation cartésienne de la droite $\left(d_{1} \right)$ est : $2x+6y-10=0$.

L'équation cartésienne de la droite $\left(d_{2} \right)$ est : $-4x+18y-25=0$.

Il nous faut résoudre le système suivant :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+6y-10} & {=} & {0} \\ {-4x+18y-25} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par $2$ et la deuxième ligne par $1$ afin que les coefficients devant les $x$ soient opposées. Il vient alors que :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {4x+12y-20} & {=} & {0} \\ {-4x+18y-25} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
$\left\{\begin{array}{ccc} {2x+6y-10} & {=} & {0} \\ {4x+12y-20+\left(-4x+18y-25\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+6y-10} & {=} & {0} \\ {30y-45} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+6y-10} & {=} & {0} \\ {30y} & {=} & {45} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+6y-10} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{45}{30}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+6y-10} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{3}{2}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+6\times\frac{3}{2}-10} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{3}{2}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+9-10} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{3}{2}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x-1} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{3}{2}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {\frac{3}{2}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {\frac{1}{2}} \\ {y} & {=} & {\frac{3}{2}} \end{array}\right.$
Les coordonnées du point d'intersection entre les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ est le point $H$ de coordonnées $E\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.

Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-6} \\ {5} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-18} \\ {3} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Le vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ ne sont pas colinéaires car : $-6\times 3-5\times \left(-18\right)\ne 0$.
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.

L'équation cartésienne de la droite $\left(d_{1} \right)$ est : $5x+6y+1=0$.

L'équation cartésienne de la droite $\left(d_{2} \right)$ est : $3x+18y-9=0$.

Il nous faut résoudre le système suivant :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6y+1} & {=} & {0} \\ {3x+18y-9} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par $3$ et la deuxième ligne par $-5$ afin que les coefficients devant les $x$ soient opposées. Il vient alors que :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {15x+18y+3} & {=} & {0} \\ {-15x-90y+45} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
$\left\{\begin{array}{ccc} {5x+6y+1=0} & {=} & {0} \\ {15x+18y+3+\left(-15x-90y+45\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6y+1} & {=} & {0} \\ {-72y+48} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6y+1} & {=} & {0} \\ {-72y} & {=} & {-48} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6y+1} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{-48}{-72}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6y+1} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6\times\frac{2}{3}+1} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+4+1} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x} & {=} & {-5} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {\frac{-5}{5}} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-1} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.$
Les coordonnées du point d'intersection entre les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ est le point $H$ de coordonnées $\left(-1;\frac{2}{3}\right)$.

Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Le vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ ne sont pas colinéaires car : $\left(-2\right)\times 2-3\times \left(-2\right)\ne 0$.
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.

Comme les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ sont sécantes, elles admettent un point d'intersection.
Pour déterminer les coordonnées de celui-ci, il nous faut résoudre un système deux équations à deux inconnues.
Il vient alors :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {3x} & {+} & {2y} & {-} & {7} & {=} & {0} \\ {2x} & {+} & {2y} & {-} & {6} & {=} & {0} \end{array}\right.$
Pour résoudre ce système, nous allons procéder par la méthode par combinaison.
En effet, on observe que les coefficients devant les $y$ sont égaux.
Nous pouvons donc soustraire les deux lignes.
On obtient :
$3x+2y-7-\left(2x+2y-6\right)=0$
$3x+2y-7-2x-2y+6=0$
$x-1=0$
$x=1$
On remplace maintenant $x$ par $1$ dans la $1$^ère équation du système, il vient alors :
$3\times 1+2y-7=0$
$3+2y-7=0$
$2y-4=0$
$2y=4$
$y=2$
On s'assure également que $x=1$ et $y=2$ vérifient la $2$^ème équation du système.
Ainsi :
$2x+2y-6=2\times 1+2\times 2-6$
$2x+2y-6=0$
Il en résulte que les coordonnées du point d'intersection entre $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ est le point que l'on note $I\left(1;2\right)$.