Géométrie repérée : équation de droite, vecteur normal et équation de cercle

Droites parallèles - Exercice 3

4 min
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Question 1

Soit xx un réel. Déterminer la valeur de xx telle que les droites (d1)\left(d_1\right) et (d2)\left(d_2\right) de vecteurs directeurs respectifs u1→(x−13)\overrightarrow{u_1} \left(\begin{array}{c} {x-1} \\ {3} \end{array}\right) et u2→(3x7)\overrightarrow{u_2} \left(\begin{array}{c} {3x} \\ {7} \end{array}\right) soient parallèles .

Correction
Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
Soit u1→(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2→(x′y′)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement si :
xy′−x′y=0xy'-x'y=0
Nous connaissons les vecteurs directeurs des droites (d1)\left(d_1\right) et (d2)\left(d_2\right) qui sont respectivement u1→(x−13)\overrightarrow{u_1} \left(\begin{array}{c} {x-1} \\ {3} \end{array}\right) et u2→(3x7)\overrightarrow{u_2} \left(\begin{array}{c} {3x} \\ {7} \end{array}\right) .
Il faut donc que :
(x−1)×7−3×3x=0\left(x-1\right)\times 7-3\times 3x=0 . Nous obtenons une équation que nous allons résoudre.
x×7+(−1)×7−9x=0x\times 7+\left(-1\right)\times 7-9x=0
7x−7−9x=07x-7-9x=0
−2x−7=0-2x-7=0
−2x=7-2x=7
x=7−2x=\frac{7}{-2}
x=−72x=-\frac{7}{2}

Les droites (d1)\left(d_1\right) et (d2)\left(d_2\right) de vecteurs directeurs respectifs u1→(x−13)\overrightarrow{u_1} \left(\begin{array}{c} {x-1} \\ {3} \end{array}\right) et u2→(3x7)\overrightarrow{u_2} \left(\begin{array}{c} {3x} \\ {7} \end{array}\right) sont parallèles si le réel xx vaut −72-\frac{7}{2}