Géométrie repérée : équation de droite, vecteur normal et équation de cercle

Droites parallèles - Exercice 2

12 min
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Question 1

Trouver une équation de la droite (d2)\left(d_{2} \right) passant par le point A(1;0)A\left(-1;0\right) et parallèle à la droite (d1)\left(d_{1} \right) d'équation 6x+4y3=06x+4y-3=0.

Correction
On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires.
Soit u1(46)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Comme les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de (d2)\left(d_{2} \right) identique à celui de (d1)\left(d_{1} \right).
Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires.
On note u2(46)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Nous aurions pu prendre un autre vecteur directeur u2\overrightarrow{u_{2} } pour (d2)\left(d_{2} \right) tant que u2\overrightarrow{u_{2} } et u1\overrightarrow{u_{1} } sont colinéaires.
Par exemple u2(23)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \end{array}\right) peut également convenir.
Nous avons donc choisi u2(46)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \end{array}\right) comme vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Ainsi l'équation cartésienne de (d2)\left(d_{2} \right) est : 6x+4y+c=06x+4y+c=0.
Or le point A(1;0)A\left(-1;0\right) appartient à la droite (d2)\left(d_{2} \right), donc les coordonnées du point A(1;0)A\left(-1;0\right) vérifie 6x+4y+c=06x+4y+c=0
Il vient alors que :
6xA+4yA+c=06x_{A} +4y_{A} +c=0
6×(1)+4×0+c=06\times \left(-1\right)+4\times 0+c=0
6+c=0-6+c=0
c=6c=6
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d2)\left(d_{2} \right) parallèle à (d1)\left(d_{1} \right) et passant par A(1;0)A\left(-1;0\right) est : 6x+4y+6=06x+4y+6=0
Question 2

Trouver une équation de la droite (d2)\left(d_{2} \right) passant par le point A(2;4)A\left(2;-4\right) et parallèle à la droite (d1)\left(d_{1} \right) d'équation x3y3=0-x-3y-3=0.

Correction
On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires.
Soit u1(31)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Comme les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de (d2)\left(d_{2} \right) identique à celui de (d1)\left(d_{1} \right).
Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires.
On note u2(31)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Nous aurions pu prendre un autre vecteur directeur u2\overrightarrow{u_{2} } pour (d2)\left(d_{2} \right) tant que u2\overrightarrow{u_{2} } et u1\overrightarrow{u_{1} } sont colinéaires.
Par exemple u2(62)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-6} \\ {2} \end{array}\right) peut également convenir.
Nous avons donc choisi u2(31)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right) comme vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Ainsi l'équation cartésienne de (d2)\left(d_{2} \right) est : x3y+c=0-x-3y+c=0.
Or le point A(2;4)A\left(2;-4\right) appartient à la droite (d2)\left(d_{2} \right), donc les coordonnées du point A(2;4)A\left(2;-4\right) vérifie x3y+c=0-x-3y+c=0.
Il vient alors que :
xA3yA+c=0-x_{A} -3y_{A} +c=0
23×(4)+c=0-2-3\times \left(-4\right)+c=0
2+12+c=0-2+12+c=0
c=10c=-10
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d2)\left(d_{2} \right) parallèle à (d1)\left(d_{1} \right) et passant par A(2;4)A\left(2;-4\right) est : x3y10=0-x-3y-10=0.
Question 3

Trouver une équation de la droite (d3)\left(d_{3} \right) passant par le point A(1;3)A\left(-1;3\right) et parallèle à la droite (d1)\left(d_{1} \right) d'équation xy=0-x-y=0.

Correction
On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires.
Soit u1(11)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Comme les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d3)\left(d_{3} \right) sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de (d3)\left(d_{3} \right) identique à celui de (d1)\left(d_{1} \right).
Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires.
On note u3(11)\overrightarrow{u_{3} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d3)\left(d_{3} \right).
Nous aurions pu prendre un autre vecteur directeur u3\overrightarrow{u_{3} } pour (d3)\left(d_{3} \right) tant que u3\overrightarrow{u_{3} } et u1\overrightarrow{u_{1} } sont colinéaires.
Par exemple u3(22)\overrightarrow{u_{3} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \end{array}\right) peut également convenir.
Nous avons donc choisi u3(11)\overrightarrow{u_{3} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right) comme vecteur de la droite (d3)\left(d_{3} \right).
Ainsi l'équation cartésienne de (d3)\left(d_{3} \right) est : xy+c=0-x-y+c=0.
Or le point A(1;3)A\left(-1;3\right) appartient à la droite (d3)\left(d_{3} \right), donc les coordonnées du point A(1;3)A\left(-1;3\right) vérifie xy+c=0-x-y+c=0.
Il vient alors que :
xAyA+c=0-x_{A} -y_{A} +c=0
13+c=01-3+c=0
c=2c=2
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d3)\left(d_{3} \right) parallèle à (d1)\left(d_{1} \right) et passant par A(1;3)A\left(-1;3\right) est : xy+2=0-x-y+2=0.
Question 4

Pour quelle valeur du paramètre mm la droite (d1)\left(d_{1} \right) d'équation x+my1=0-x+my-1=0 est-elle parallèle à la droite (d2)\left(d_{2} \right) d'équation 2x+4y+3=02x+4y+3=0.

Correction
Soit u1(m1)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-m} \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2(42)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {2} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Pour que les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) soient parallèles, il faut que leurs vecteurs directeurs respectifs soient colinéaires.
Ainsi :
(m)×2(1)×(4)=0\left(-m\right)\times 2-\left(-1\right)\times \left(-4\right)=0
2m4=0-2m-4=0
2m=4-2m=4
m=42m=\frac{4}{-2}
m=2.m=-2.
Si m=2m=-2 alors les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont bien parallèles.