Soit u1(xy) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(x′y′) un vecteur de la droite (d2). Les droites (d1) et (d2) sont parallèles si et seulement si :
xy′−x′y=0
Soit u1(−23) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(−4−1) un vecteur de la droite (d2). Les vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires car : (−2)×(−1)−3×(−4)=2+12=14=0. Les droites (d1) et (d2) ne sont donc pas parallèles.
Les droites (d1) et (d2) ont respectivement comme équation cartésienne 2x−y=0 et −x+21y−5=0.
2
Les droites (d1) et (d2) sont-elles parallèles ?
Correction
Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi : Soit u1(xy) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(x′y′) un vecteur de la droite (d2). Les droites (d1) et (d2) sont parallèles si et seulement si :
xy′−x′y=0
Soit u1(12) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(−21−1) un vecteur de la droite (d2). Les vecteurs u1 et u2 sont colinéaires car : 1×(−1)−2×(−21)=0. Les droites (d1) et (d2) sont donc parallèles.
Les droites (d1) et (d2) ont respectivement comme équation cartésienne 2x+6=0 et x+2y+1=0.
3
Les droites (d1) et (d2) sont-elles parallèles ?
Correction
Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi : Soit u1(xy) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(x′y′) un vecteur de la droite (d2). Les droites (d1) et (d2) sont parallèles si et seulement si :
xy′−x′y=0
Soit u1(02) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(−21) un vecteur de la droite (d2). Les vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires car : 0×1−2×(−2)=0. Les droites (d1) et (d2) ne sont donc pas parallèles.
4
La droite (d1) d'équation cartésienne : 2x−5y+2=0 est parallèle à la droite (d5) d'équation : y=−x+1.
Correction
La droite (d5) est donnée sous sa forme réduite : y=−x+1. Nous allons donc la donner maintenant sous forme cartésienne. On a alors : x+y−1=0.
Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi : Soit u1(xy) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(x′y′) un vecteur de la droite (d2). Les droites (d1) et (d2) sont parallèles si et seulement si :
xy′−x′y=0
Soit u1(52) un vecteur de la droite (d1). Soit u5(−11) un vecteur de la droite (d5). Les vecteurs u1 et u5 ne sont pas colinéaires car : 5×1−2×(−1)=0. Les droites (d1) et (d5) ne sont donc pas parallèles.
Exercice 2
1
Trouver une équation de la droite (d2) passant par le point A(−1;0) et parallèle à la droite (d1) d'équation 6x+4y−3=0.
Correction
On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires. Soit u1(−46) un vecteur de la droite (d1). Comme les droites (d1) et (d2) sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de (d2) identique à celui de (d1). Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires. On note u2(−46) un vecteur de la droite (d2).
Nous aurions pu prendre un autre vecteur directeur u2 pour (d2) tant que u2 et u1 sont colinéaires. Par exemple u2(−23) peut également convenir.
Nous avons donc choisi u2(−46) comme vecteur de la droite (d2). Ainsi l'équation cartésienne de (d2) est : 6x+4y+c=0. Or le point A(−1;0) appartient à la droite (d2), donc les coordonnées du point A(−1;0) vérifie 6x+4y+c=0 Il vient alors que : 6xA+4yA+c=0 6×(−1)+4×0+c=0 −6+c=0 c=6 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d2) parallèle à (d1) et passant par A(−1;0) est : 6x+4y+6=0
2
Trouver une équation de la droite (d2) passant par le point A(2;−4) et parallèle à la droite (d1) d'équation −x−3y−3=0.
Correction
On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires. Soit u1(3−1) un vecteur de la droite (d1). Comme les droites (d1) et (d2) sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de (d2) identique à celui de (d1). Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires. On note u2(3−1) un vecteur de la droite (d2).
Nous aurions pu prendre un autre vecteur directeur u2 pour (d2) tant que u2 et u1sont colinéaires. Par exemple u2(−62) peut également convenir.
Nous avons donc choisi u2(3−1) comme vecteur de la droite (d2). Ainsi l'équation cartésienne de (d2) est : −x−3y+c=0. Or le point A(2;−4) appartient à la droite (d2), donc les coordonnées du point A(2;−4) vérifie −x−3y+c=0. Il vient alors que : −xA−3yA+c=0 −2−3×(−4)+c=0 −2+12+c=0 c=−10 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d2) parallèle à (d1) et passant par A(2;−4) est : −x−3y−10=0.
3
Trouver une équation de la droite (d3) passant par le point A(−1;3) et parallèle à la droite (d1) d'équation −x−y=0.
Correction
On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires. Soit u1(1−1) un vecteur de la droite (d1). Comme les droites (d1) et (d3) sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de (d3) identique à celui de (d1). Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires. On note u3(1−1) un vecteur de la droite (d3).
Nous aurions pu prendre un autre vecteur directeur u3 pour (d3) tant que u3 et u1sont colinéaires. Par exemple u3(2−2) peut également convenir.
Nous avons donc choisi u3(1−1) comme vecteur de la droite (d3). Ainsi l'équation cartésienne de (d3) est : −x−y+c=0. Or le point A(−1;3) appartient à la droite (d3), donc les coordonnées du point A(−1;3) vérifie −x−y+c=0. Il vient alors que : −xA−yA+c=0 1−3+c=0 c=2 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d3) parallèle à (d1) et passant par A(−1;3) est : −x−y+2=0.
4
Pour quelle valeur du paramètre m la droite (d1) d'équation −x+my−1=0 est-elle parallèle à la droite (d2) d'équation 2x+4y+3=0.
Correction
Soit u1(−m−1) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(−42) un vecteur de la droite (d2). Pour que les droites (d1) et (d2) soient parallèles, il faut que leurs vecteurs directeurs respectifs soient colinéaires. Ainsi : (−m)×2−(−1)×(−4)=0 −2m−4=0 −2m=4 m=−24 m=−2. Si m=−2 alors les droites (d1) et (d2) sont bien parallèles.
Exercice 3
1
Soit x un réel. Déterminer la valeur de x telle que les droites (d1) et (d2) de vecteurs directeurs respectifs u1(x−13) et u2(3x7) soient parallèles .
Correction
Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi : Soit u1(xy) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(x′y′) un vecteur de la droite (d2). Les droites (d1) et (d2) sont parallèles si et seulement si :
xy′−x′y=0
Nous connaissons les vecteurs directeurs des droites (d1) et (d2) qui sont respectivement u1(x−13) et u2(3x7) . Il faut donc que : (x−1)×7−3×3x=0 . Nous obtenons une équation que nous allons résoudre. x×7+(−1)×7−9x=0 7x−7−9x=0 −2x−7=0 −2x=7 x=−27
x=−27
Les droites (d1) et (d2) de vecteurs directeurs respectifs u1(x−13) et u2(3x7) sont parallèles si le réel x vaut −27
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