🔴  Lives #BAC2024

À partir du 12 mai, révise le bac avec nous sur YouTube tous les soirs à 19h30 ! Découvrir la chaîne →

Géométrie repérée : équation de droite, vecteur normal et équation de cercle

Droites parallèles - Exercice 1

12 min
20
Question 1
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ont respectivement comme équation cartésienne 3x+2y+1=03x+2y+1=0 et x+4y5=0-x+4y-5=0.

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles parallèles ?

Correction
Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
Soit u1(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2(xy)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement si :
xyxy=0xy'-x'y=0
Soit u1(23)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2(41)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Les vecteurs u1\overrightarrow{u_{1} } et u2\overrightarrow{u_{2} } ne sont pas colinéaires car : (2)×(1)3×(4)=2+12=140\left(-2\right)\times \left(-1\right)-3\times \left(-4\right)=2+12=14\ne 0.
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont donc pas parallèles.
Question 2
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ont respectivement comme équation cartésienne 2xy=02x-y=0 et x+12y5=0-x+\frac{1}{2} y-5=0.

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles parallèles ?

Correction
Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
Soit u1(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2(xy)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement si :
xyxy=0xy'-x'y=0
Soit u1(12)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2(121)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Les vecteurs u1\overrightarrow{u_{1} } et u2\overrightarrow{u_{2} } sont colinéaires car : 1×(1)2×(12)=01\times \left(-1\right)-2\times \left(-\frac{1}{2} \right)=0.
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont donc parallèles.
Question 3
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ont respectivement comme équation cartésienne 2x+6=02x+6=0 et x+2y+1=0x+2y+1=0.

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles parallèles ?

Correction
Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
Soit u1(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2(xy)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement si :
xyxy=0xy'-x'y=0
Soit u1(02)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2(21)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2 } \\ {1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Les vecteurs u1\overrightarrow{u_{1} } et u2\overrightarrow{u_{2} } ne sont pas colinéaires car : 0×12×(2)00\times 1-2\times \left(-2\right)\ne 0.
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont donc pas parallèles.
Question 4

La droite (d1)\left(d_{1} \right) d'équation cartésienne : 2x5y+2=02x-5y+2=0 est parallèle à la droite (d5)\left(d_{5} \right) d'équation : y=x+1y=-x+1.

Correction
La droite (d5)\left(d_{5} \right) est donnée sous sa forme réduite : y=x+1y=-x+1. Nous allons donc la donner maintenant sous forme cartésienne. On a alors : x+y1=0x+y-1=0.
Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
Soit u1(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2(xy)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement si :
xyxy=0xy'-x'y=0
Soit u1(52)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u5(11)\overrightarrow{u_{5} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d5)\left(d_{5} \right).
Les vecteurs u1\overrightarrow{u_{1} } et u5\overrightarrow{u_{5} } ne sont pas colinéaires car : 5×12×(1)05\times 1-2\times \left(-1\right)\ne 0.
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d5)\left(d_{5} \right) ne sont donc pas parallèles.