Droites parallèles

Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ ne sont pas colinéaires car : $\left(-2\right)\times \left(-1\right)-3\times \left(-4\right)=2+12=14\ne 0$.
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont donc pas parallèles.

Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {-1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ sont colinéaires car : $1\times \left(-1\right)-2\times \left(-\frac{1}{2} \right)=0$.
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ sont donc parallèles.

Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2 } \\ {1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ ne sont pas colinéaires car : $0\times 1-2\times \left(-2\right)\ne 0$.
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont donc pas parallèles.

La droite $\left(d_{5} \right)$ est donnée sous sa forme réduite : $y=-x+1$. Nous allons donc la donner maintenant sous forme cartésienne. On a alors : $x+y-1=0$.
Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{5} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{5} \right)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{5} }$ ne sont pas colinéaires car : $5\times 1-2\times \left(-1\right)\ne 0$.
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{5} \right)$ ne sont donc pas parallèles.

On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires.
Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Comme les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de $\left(d_{2} \right)$ identique à celui de $\left(d_{1} \right)$.
Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires.
On note $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Nous avons donc choisi $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \end{array}\right)$ comme vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Ainsi l'équation cartésienne de $\left(d_{2} \right)$ est : $6x+4y+c=0$.
Or le point $A\left(-1;0\right)$ appartient à la droite $\left(d_{2} \right)$, donc les coordonnées du point $A\left(-1;0\right)$ vérifie $6x+4y+c=0$
Il vient alors que :
$6x_{A} +4y_{A} +c=0$
$6\times \left(-1\right)+4\times 0+c=0$
$-6+c=0$
$c=6$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(d_{2} \right)$ parallèle à $\left(d_{1} \right)$ et passant par $A\left(-1;0\right)$ est : $6x+4y+6=0$

On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires.
Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Comme les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de $\left(d_{2} \right)$ identique à celui de $\left(d_{1} \right)$.
Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires.
On note $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Nous avons donc choisi $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)$ comme vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Ainsi l'équation cartésienne de $\left(d_{2} \right)$ est : $-x-3y+c=0$.
Or le point $A\left(2;-4\right)$ appartient à la droite $\left(d_{2} \right)$, donc les coordonnées du point $A\left(2;-4\right)$ vérifie $-x-3y+c=0$.
Il vient alors que :
$-x_{A} -3y_{A} +c=0$
$-2-3\times \left(-4\right)+c=0$
$-2+12+c=0$
$c=-10$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(d_{2} \right)$ parallèle à $\left(d_{1} \right)$ et passant par $A\left(2;-4\right)$ est : $-x-3y-10=0$.

On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires.
Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Comme les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{3} \right)$ sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de $\left(d_{3} \right)$ identique à celui de $\left(d_{1} \right)$.
Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires.
On note $\overrightarrow{u_{3} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{3} \right)$.
Nous avons donc choisi $\overrightarrow{u_{3} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right)$ comme vecteur de la droite $\left(d_{3} \right)$.
Ainsi l'équation cartésienne de $\left(d_{3} \right)$ est : $-x-y+c=0$.
Or le point $A\left(-1;3\right)$ appartient à la droite $\left(d_{3} \right)$, donc les coordonnées du point $A\left(-1;3\right)$ vérifie $-x-y+c=0$.
Il vient alors que :
$-x_{A} -y_{A} +c=0$
$1-3+c=0$
$c=2$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(d_{3} \right)$ parallèle à $\left(d_{1} \right)$ et passant par $A\left(-1;3\right)$ est : $-x-y+2=0$.

Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-m} \\ {-1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {2} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Pour que les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ soient parallèles, il faut que leurs vecteurs directeurs respectifs soient colinéaires.
Ainsi :
$\left(-m\right)\times 2-\left(-1\right)\times \left(-4\right)=0$
$-2m-4=0$
$-2m=4$
$m=\frac{4}{-2}$
$m=-2.$
Si $m=-2$ alors les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ sont bien parallèles.

Nous connaissons les vecteurs directeurs des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ qui sont respectivement $\overrightarrow{u_1} \left(\begin{array}{c} {x-1} \\ {3} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{u_2} \left(\begin{array}{c} {3x} \\ {7} \end{array}\right)$ .
Il faut donc que :
$\left(x-1\right)\times 7-3\times 3x=0$ . Nous obtenons une équation que nous allons résoudre.
$x\times 7+\left(-1\right)\times 7-9x=0$
$7x-7-9x=0$
$-2x-7=0$
$-2x=7$
$x=\frac{7}{-2}$

Les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ de vecteurs directeurs respectifs $\overrightarrow{u_1} \left(\begin{array}{c} {x-1} \\ {3} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{u_2} \left(\begin{array}{c} {3x} \\ {7} \end{array}\right)$ sont parallèles si le réel $x$ vaut $-\frac{7}{2}$