Géométrie repérée : équation de droite, vecteur normal et équation de cercle

Déterminer une équation de cercle - Exercice 3

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Aidez vous de la vidéo : Comment déterminer une équation de cercle.
Dans chacun des cas suivants, démontrer que l’équation proposée est celle d’un cercle dont on précisera les coordonnées du centre et le rayon :
Question 1

x2+y2−2y+3x=0x^{2} +y^{2} -2y+3x=0

Correction
  • L'équation d'un cercle CC de centre Ω(a;b)\Omega \left(a;b\right) et de rayon rr, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2\left(x-a\right)^{2} +\left(y-b\right)^{2} =r^{2}
x2+y2−2y+3x=0x^{2} +y^{2} -2y+3x=0 équivaut successivement à :
x2+3x+y2−2y=0x^{2}+3x+y^{2}-2y=0
(x+3×12)2−(3×12)2+(y−2×12)2−(2×12)2=0\left(x+3\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(3\times \frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y-2\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(2\times \frac{1}{2} \right)^{2}=0
(x+32)2−(32)2+(y−1)2−(1)2=0\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} -\left(\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} -\left(1\right)^{2} =0
(x+32)2+(y−1)2=134\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =\frac{13}{4}
(x+32)2+(y−1)2=(132)2\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =\left(\frac{\sqrt{13} }{2} \right)^{2}
Il s'agit bien du cercle de centre Ω(−32;1)\Omega \left(-\frac{3}{2} ;1\right) et de rayon 132\frac{\sqrt{13} }{2}.
Question 2

x2+y2+x−4y−2=0x^{2} +y^{2} +x-4y-2=0

Correction
  • L'équation d'un cercle CC de centre Ω(a;b)\Omega \left(a;b\right) et de rayon rr, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2\left(x-a\right)^{2} +\left(y-b\right)^{2} =r^{2}
x2+y2+x−4y−2=0x^{2} +y^{2} +x-4y-2=0 équivaut successivement à :
x2+x+y2−4y−2=0x^{2} +x +y^{2} -4y-2=0
(x+1×12)2−(1×12)2+(y−4×12)2−(4×12)2−2=0\left(x+1\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(1\times \frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y-4\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(4\times \frac{1}{2} \right)^{2}-2=0
(x+32)2−(12)2+(y−2)2−(2)2−2=0\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} -\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} -\left(2\right)^{2} -2=0
(x+12)2+(y−2)2=254\left(x+\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} =\frac{25}{4}
(x+12)2+(y−2)2=(52)2\left(x+\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} =\left(\frac{5 }{2} \right)^{2}
Il s'agit bien du cercle de centre Ω(−12;2)\Omega \left(-\frac{1}{2} ;2\right) et de rayon 52\frac{5 }{2}.
Question 3

x2+y2−5x+7y−1=0x^{2} +y^{2} -5x+7y-1=0

Correction
  • L'équation d'un cercle CC de centre Ω(a;b)\Omega \left(a;b\right) et de rayon rr, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2\left(x-a\right)^{2} +\left(y-b\right)^{2} =r^{2}
x2+y2−5x+7y−1=0x^{2} +y^{2} -5x+7y-1=0 équivaut successivement à :
x2−5x+y2+7y−1=0x^{2} -5x+y^{2} +7y-1=0
(x−5×12)2−(5×12)2+(y+7×12)2−(7×12)2−1=0\left(x-5\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(5\times \frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y+7\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(7\times \frac{1}{2} \right)^{2}-1=0
(x−52)2−(52)2+(y+72)2−(72)2−1=0\left(x-\frac{5}{2} \right)^{2} -\left(\frac{5}{2} \right)^{2} +\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2} -\left(\frac{7}{2}\right)^{2} -1=0
(x−52)2+(y+72)2=392\left(x-\frac{5}{2} \right)^{2} +\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2} =\frac{39}{2}
(x−52)2+(y+72)2=(392)2\left(x-\frac{5}{2} \right)^{2} +\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2} =\left(\sqrt{\frac{39}{2} } \right)^{2}
Il s'agit bien du cercle de centre Ω(52;−72)\Omega \left(\frac{5}{2} ;-\frac{7}{2}\right) et de rayon 392\sqrt{\frac{39}{2} }.
Question 4

3x2+3y2−6x−9y−2=03x^{2} +3y^{2} -6x-9y-2=0

Correction
  • L'équation d'un cercle CC de centre Ω(a;b)\Omega \left(a;b\right) et de rayon rr, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2\left(x-a\right)^{2} +\left(y-b\right)^{2} =r^{2}
3x2+3y2−6x−9y−2=03x^{2} +3y^{2} -6x-9y-2=0 équivaut successivement à :
x2+y2−2x−3y−23=0x^{2} +y^{2} -2x-3y-\frac{2}{3}=0 . Nous avons tout diviser par 33
x2−2x+y2−3y−23=0x^{2} -2x+y^{2}-3y-\frac{2}{3}=0
(x−2×12)2−(2×12)2+(y−3×12)2−(3×12)2−23=0\left(x-2\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(2\times \frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y-3\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(3\times \frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{2}{3}=0
(x−1)2−(1)2+(y−32)2−(32)2−23=0\left(x-1 \right)^{2} -\left(1 \right)^{2} +\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2} -\left(\frac{3}{2}\right)^{2} -\frac{2}{3}=0
(x−1)2+(y−32)2=4712\left(x-1 \right)^{2} +\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2} =\frac{47}{12}
(x−1)2+(y−32)2=(4712)2\left(x-1\right)^{2} +\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2} =\left(\sqrt{\frac{47}{12} } \right)^{2}
Il s'agit bien du cercle de centre Ω(1;32)\Omega \left(1 ;\frac{3}{2}\right) et de rayon 4712\sqrt{\frac{47}{12} }.