Géométrie repérée : équation de droite, vecteur normal et équation de cercle
Déterminer une équation de cercle
Exercice 1
Déterminer une équation du cercle dans les cas suivants :
1
de centre A(−2;3) et de rayon 4.
Correction
L'équation d'un cercle C de centre Ω(a;b) et de rayon r, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2
Nous appliquons directement la formule de l'équation d'un cercle. Ce qui nous donne : (x−(−2))2+(y−3)2=42 Ainsi :
(x+2)2+(y−3)2=16
2
de centre A(−1;−4) et de rayon 2.
Correction
L'équation d'un cercle C de centre Ω(a;b) et de rayon r, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2
Nous appliquons directement la formule de l'équation d'un cercle. Ce qui nous donne : (x−(−1))2+(y−(−4))2=22 Ainsi :
(x+1)2+(y+4)2=4
3
de centre A(1;−2) et passant par le point B(1;5).
Correction
L'équation d'un cercle C de centre Ω(a;b) et de rayon r, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2
Dans cet exercice, le rayon n'est pas donné mais nous pouvons le déterminer. En effet, le segment [AB] est un rayon de ce cercle. Il nous reste plus qu'à calculer la distance AB. Ainsi : AB=(1−1)2+(5−(−2))2 AB=02+72 AB=49 AB=7 Donc cela signifie que le rayon r du Cercle de centre A est égale à r=7 Nous pouvons maintenant appliquer la formule relative à l'équation d'un cercle. Ce qui nous donne : (x−1)2+(y−(−2))2=72 Ainsi :
(x−1)2+(y+2)2=49
4
de centre A(0;0) et de rayon 3.
Correction
L'équation d'un cercle C de centre Ω(a;b) et de rayon r, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2
Nous appliquons directement la formule de l'équation d'un cercle. Ce qui nous donne : (x−0)2+(y−0)2=32 Ainsi :
x2+y2=9
Exercice 2
1
Déterminer le rayon et les coordonnées du centre du cercle C d'équation (x−4)2+(y−8)2=3 .
Correction
L'équation d'un cercle C de centre Ω(a;b) et de rayon r, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2
(x−4)2+(y−8)2=3 s'écrit alors : (x−4)2+(y−8)2=(3)2 Le cercle C a donc comme rayon r=3 et comme centre Ω(4;8)
2
Déterminer le rayon et les coordonnées du centre du cercle C d'équation (x+2)2+(y−1)2=16 .
Correction
L'équation d'un cercle C de centre Ω(a;b) et de rayon r, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2
(x+2)2+(y−1)2=16 s'écrit alors : (x−(−2))2+(y−1)2=42 Le cercle C a donc comme rayon r=4 et comme centre Ω(−2;1)
Exercice 3
Aidez vous de la vidéo : Comment déterminer une équation de cercle
Dans chacun des cas suivants, démontrer que l’équation proposée est celle d’un cercle dont on précisera les coordonnées du centre et le rayon :
1
x2+y2−2y+3x=0
Correction
x2+y2−2y+3x=0 équivaut successivement à : x2+3x+y2−2y=0 (x+3×21)2−(3×21)2+(y−2×21)2−(2×21)2=0 (x+23)2−(23)2+(y−1)2−(1)2=0 (x+23)2+(y−1)2=413 (x+23)2+(y−1)2=(213)2 Il s'agit bien du cercle de centre Ω(−23;1) et de rayon 213.
2
x2+y2+x−4y−2=0
Correction
x2+y2+x−4y−2=0 équivaut successivement à : x2+x+y2−4y−2=0 (x+1×21)2−(1×21)2+(y−4×21)2−(4×21)2−2=0 (x+23)2−(21)2+(y−2)2−(2)2−2=0 (x+21)2+(y−2)2=425 (x+21)2+(y−2)2=(25)2 Il s'agit bien du cercle de centre Ω(−21;2) et de rayon 25.
3
x2+y2−5x+7y−1=0
Correction
x2+y2−5x+7y−1=0 équivaut successivement à : x2−5x+y2+7y−1=0 (x−5×21)2−(5×21)2+(y+7×21)2−(7×21)2−1=0 (x−25)2−(25)2+(y+27)2−(27)2−1=0 (x−25)2+(y+27)2=239 (x−25)2+(y+27)2=(239)2 Il s'agit bien du cercle de centre Ω(25;−27) et de rayon 239.
4
3x2+3y2−6x−9y−2=0
Correction
3x2+3y2−6x−9y−2=0 équivaut successivement à : x2+y2−2x−3y−32=0 . Nous avons tout diviser par 3 x2−2x+y2−3y−32=0 (x−2×21)2−(2×21)2+(y−3×21)2−(3×21)2−32=0 (x−1)2−(1)2+(y−23)2−(23)2−32=0 (x−1)2+(y−23)2=1247 (x−1)2+(y−23)2=(1247)2 Il s'agit bien du cercle de centre Ω(1;23) et de rayon 1247.
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