Géométrie repérée : équation de droite, vecteur normal et équation de cercle

Déterminer une équation de cercle - Exercice 1

8 min
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Question 1
Déterminer une équation du cercle dans les cas suivants :

de centre A(−2;3)A\left(-2;3\right) et de rayon 44.

Correction
  • L'équation d'un cercle CC de centre Ω(a;b)\Omega \left(a;b\right) et de rayon rr, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2\left(x-a\right)^{2} +\left(y-b\right)^{2} =r^{2}

Nous appliquons directement la formule de l'équation d'un cercle. Ce qui nous donne :
(x−(−2))2+(y−3)2=42\left(x-\left(-2\right)\right)^{2} +\left(y-3\right)^{2} =4^{2}
Ainsi :
(x+2)2+(y−3)2=16\left(x+2\right)^{2} +\left(y-3\right)^{2} =16
Question 2

de centre A(−1;−4)A\left(-1;-4\right) et de rayon 22.

Correction
  • L'équation d'un cercle CC de centre Ω(a;b)\Omega \left(a;b\right) et de rayon rr, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2\left(x-a\right)^{2} +\left(y-b\right)^{2} =r^{2}

Nous appliquons directement la formule de l'équation d'un cercle. Ce qui nous donne :
(x−(−1))2+(y−(−4))2=22\left(x-\left(-1\right)\right)^{2} +\left(y-\left(-4\right)\right)^{2} =2^{2}
Ainsi :
(x+1)2+(y+4)2=4\left(x+1\right)^{2} +\left(y+4\right)^{2} =4
Question 3

de centre A(1;−2)A\left(1;-2\right) et passant par le point B(1;5)B\left(1;5\right).

Correction
  • L'équation d'un cercle CC de centre Ω(a;b)\Omega \left(a;b\right) et de rayon rr, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2\left(x-a\right)^{2} +\left(y-b\right)^{2} =r^{2}
Dans cet exercice, le rayon n'est pas donné mais nous pouvons le déterminer. En effet, le segment [AB]\left[AB\right] est un rayon de ce cercle. Il nous reste plus qu'à calculer la distance ABAB.
Ainsi :
AB=(1−1)2+(5−(−2))2AB=\sqrt{\left(1-1\right)^{2} +\left(5-\left(-2\right)\right)^{2} }
AB=02+72AB=\sqrt{0^{2} +7^{2} }
AB=49AB=\sqrt{49}
AB=7AB=7
Donc cela signifie que le rayon rr du Cercle de centre AA est égale à r=7r=7
Nous pouvons maintenant appliquer la formule relative à l'équation d'un cercle. Ce qui nous donne :
(x−1)2+(y−(−2))2=72\left(x-1\right)^{2} +\left(y-\left(-2\right)\right)^{2} =7^{2}
Ainsi :
(x−1)2+(y+2)2=49\left(x-1\right)^{2} +\left(y+2\right)^{2} =49
Question 4

de centre A(0;0)A\left(0;0\right) et de rayon 33.

Correction
  • L'équation d'un cercle CC de centre Ω(a;b)\Omega \left(a;b\right) et de rayon rr, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2\left(x-a\right)^{2} +\left(y-b\right)^{2} =r^{2}

Nous appliquons directement la formule de l'équation d'un cercle. Ce qui nous donne :
(x−0)2+(y−0)2=32\left(x-0\right)^{2} +\left(y-0\right)^{2} =3^{2}
Ainsi :
x2+y2=9x^{2} +y^{2} =9