Simplification d'expressions en cosinus et en sinus - Exercice 2

7 min
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Question 1
Calculer, sans utiliser de calculatrice, les expressions suivantes :

C=sin⁡(π3)+sin⁡(2π3)+sin⁡(4π3)+sin⁡(5π3)C=\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{2\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{4\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{5\pi }{3} \right).

Correction
On remarque que :
  • sin⁡(2π3)=sin⁡(π−π3)\sin \left(\frac{2\pi }{3} \right)=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3} \right)
  • sin⁡(4π3)=sin⁡(π+π3)\sin \left(\frac{4\pi }{3} \right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{3} \right)
  • sin⁡(5π3)=sin⁡(2π−π3)\sin \left(\frac{5\pi }{3} \right)=\sin \left(2\pi -\frac{\pi }{3} \right)

    • Ainsi :
    C=sin⁡(π3)+sin⁡(2π3)+sin⁡(4π3)+sin⁡(5π3)C=\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{2\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{4\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{5\pi }{3} \right) équivaut successivement à :
    C=sin⁡(π3)+sin⁡(π−π3)+sin⁡(π+π3)+sin⁡(2π−π3)C=\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\pi +\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(2\pi -\frac{\pi }{3} \right)
    C=sin⁡(π3)+sin⁡(π3)−sin⁡(π3)+sin⁡(−π3)C=\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left( -\frac{\pi }{3} \right)
    C=sin⁡(π3)+sin⁡(π3)−sin⁡(π3)−sin⁡(π3)C=\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left( \frac{\pi }{3} \right)
    Ainsi :
    C=0C=0

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