Résoudre des inéquations trigonométriques - Exercice 2

$$\red{\text{Étape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$2\cos \left(x\right)+1=0$$ sur l'intervalle $$\left]-\pi ;\pi \right]$$
$$2\cos \left(x\right)+1=0\Leftrightarrow 2\cos \left(x\right)=-1\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=-\dfrac{1}{2}$$.
Or $$\cos \left(\dfrac{2\pi }{3} \right)=-\dfrac{1}{2}$$, ainsi $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{2\pi }{3} \right)$$
$$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{2\pi }{3}+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{2\pi }{3}+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Ici, ce sont les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
On va faire varier la valeur de $$k$$.
Dans un premier temps on prendra $$k=0$$, puis $$k=1$$.
En effet, avec ces deux valeurs de $$k$$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $$\left]-\pi ;\pi \right]$$.

• D'une part, lorsque $$k=0$$
  $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{2\pi }{3}+2\times 0\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{2\pi }{3}+2\times 0\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{2\pi }{3}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{2\pi }{3}} \end{array}\right.$$
  Or $$\dfrac{2\pi }{3}\in \left]-\pi ;\pi \right]$$ et $$-\dfrac{2\pi }{3}\in \left]-\pi ;\pi \right]$$.
  On garde pour le moment les solutions $$\dfrac{2\pi }{3}$$ et $$-\dfrac{2\pi }{3}$$.

• D'autre part, lorsque $$k=1$$
  $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{2\pi }{3}+2\times 1\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{2\pi }{3}+2\times 1\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{8\pi }{3}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{4\pi }{3}} \end{array}\right.$$
  Or $$\dfrac{8\pi }{3}\notin \left]-\pi ;\pi \right]$$ et $$\dfrac{4\pi }{3}\notin \left]-\pi ;\pi \right]$$.

Enfin les solutions de l'équation $$2\cos \left(x\right)+1=0$$ sur $$\left]-\pi ;\pi \right]$$ sont : $$S=\left\{-\dfrac{2\pi }{3} ;\dfrac{2\pi }{3}\right\}$$.
$$\red{\text{Étape 2 :}}$$ on résout $$2\cos \left(x\right)+1>0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$2\cos \left(x\right)+1>0\Leftrightarrow 2\cos \left(x\right)>-1\Leftrightarrow \cos \left(x\right)>-\dfrac{1}{2}$$
Le segment vert représente la zone où $$\cos \left(x\right)>-\dfrac{1}{2}$$ : les points du cercle qui lui correspondent forment l'arc vert. Ainsi sur l'intervalle $$\left]-\dfrac{2\pi }{3} ;\dfrac{2\pi }{3} \right[$$ on aura $$\cos \left(x\right)>-\dfrac{1}{2}$$, c'est-à-dire $$2\cos \left(x\right)+1>0$$. Les réels $$-\dfrac{2\pi }{3}$$ et $$\dfrac{2\pi }{3}$$ sont exclus car l'inégalité est stricte : sur le cercle, leurs points sont creux.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$2\cos \left(x\right)+1>0$$ sur $$\left]-\pi ;\pi \right]$$ sont :

$$\red{\text{Étape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$2\cos \left(x\right)-\sqrt{3} =0$$ sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right[$$
$$2\cos \left(x\right)-\sqrt{3} =0\Leftrightarrow 2\cos \left(x\right)=\sqrt{3} \Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$$.
Or $$\cos \left(\dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$$, ainsi $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{6} \right)$$
$$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{6}+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{6}+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Ici, ce sont les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
On va faire varier la valeur de $$k$$.
Dans un premier temps on prendra $$k=0$$, puis $$k=1$$.
En effet, avec ces deux valeurs de $$k$$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right[$$.

• D'une part, lorsque $$k=0$$
  $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{6}+2\times 0\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{6}+2\times 0\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{6}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{6}} \end{array}\right.$$
  Or $$\dfrac{\pi }{6}\in \left[0;2\pi \right[$$ et $$-\dfrac{\pi }{6}\notin \left[0;2\pi \right[$$.
  On garde pour le moment la solution $$\dfrac{\pi }{6}$$.

• D'autre part, lorsque $$k=1$$
  $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{6}+2\times 1\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{6}+2\times 1\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{13\pi }{6}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{11\pi }{6}} \end{array}\right.$$
  Or $$\dfrac{13\pi }{6}\notin \left[0;2\pi \right[$$ et $$\dfrac{11\pi }{6}\in \left[0;2\pi \right[$$.
  On garde pour le moment la solution $$\dfrac{11\pi }{6}$$.

Enfin les solutions de l'équation $$2\cos \left(x\right)-\sqrt{3} =0$$ sur $$\left[0;2\pi \right[$$ sont : $$S=\left\{\dfrac{\pi }{6} ;\dfrac{11\pi }{6}\right\}$$.
$$\red{\text{Étape 2 :}}$$ on résout $$2\cos \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$2\cos \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0\Leftrightarrow 2\cos \left(x\right)\ge \sqrt{3} \Leftrightarrow \cos \left(x\right)\ge \dfrac{\sqrt{3} }{2}$$
Le segment vert représente la zone où $$\cos \left(x\right)\ge \dfrac{\sqrt{3} }{2}$$ : les points du cercle qui lui correspondent forment l'arc vert. Cet arc passe par le point associé à $$0$$. Comme on travaille sur $$\left[0;2\pi \right[$$, on le lit en deux morceaux : de $$0$$ à $$\dfrac{\pi }{6}$$, puis de $$\dfrac{11\pi }{6}$$ jusqu'à $$2\pi$$ (exclu). Ainsi sur $$\left[0;\dfrac{\pi }{6} \right]$$ et sur $$\left[\dfrac{11\pi }{6} ;2\pi \right[$$ on aura $$\cos \left(x\right)\ge \dfrac{\sqrt{3} }{2}$$, c'est-à-dire $$2\cos \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0$$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$2\cos \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0$$ sur $$\left[0;2\pi \right[$$ sont :

$$\red{\text{Étape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$-2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0$$ sur l'intervalle $$\left]-\pi ;\pi \right]$$
$$-2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0\Leftrightarrow -2\sin \left(x\right)=-\sqrt{2} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)=\dfrac{\sqrt{2} }{2}$$.
Or $$\sin \left(\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2} }{2}$$, ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(\dfrac{\pi }{4} \right)$$
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{4}+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\dfrac{\pi }{4}+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Ainsi : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{4}+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{3\pi }{4}+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Ici, ce sont les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
On va faire varier la valeur de $$k$$.
Dans un premier temps on prendra $$k=0$$, puis $$k=1$$.
En effet, avec ces deux valeurs de $$k$$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $$\left]-\pi ;\pi \right]$$.

• D'une part, lorsque $$k=0$$
  $$\sin \left(x\right)=\sin \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{4}+2\times 0\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{3\pi }{4}+2\times 0\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{4}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{3\pi }{4}} \end{array}\right.$$
  Or $$\dfrac{\pi }{4}\in \left]-\pi ;\pi \right]$$ et $$\dfrac{3\pi }{4}\in \left]-\pi ;\pi \right]$$.
  On garde pour le moment les solutions $$\dfrac{\pi }{4}$$ et $$\dfrac{3\pi }{4}$$.

• D'autre part, lorsque $$k=1$$
  $$\sin \left(x\right)=\sin \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{4}+2\times 1\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{3\pi }{4}+2\times 1\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{9\pi }{4}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{11\pi }{4}} \end{array}\right.$$
  Or $$\dfrac{9\pi }{4}\notin \left]-\pi ;\pi \right]$$ et $$\dfrac{11\pi }{4}\notin \left]-\pi ;\pi \right]$$.

Enfin les solutions de l'équation $$-2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0$$ sur $$\left]-\pi ;\pi \right]$$ sont : $$S=\left\{\dfrac{\pi }{4} ;\dfrac{3\pi }{4}\right\}$$.
$$\red{\text{Étape 2 :}}$$ on résout $$-2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} \le 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$-2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} \le 0\Leftrightarrow -2\sin \left(x\right)\le -\sqrt{2} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)\ge \dfrac{\sqrt{2} }{2}$$
Attention : on divise par $$-2$$ qui est strictement négatif, donc le sens de l'inégalité change.
Le segment vert représente la zone où $$\sin \left(x\right)\ge \dfrac{\sqrt{2} }{2}$$ : les points du cercle qui lui correspondent forment l'arc vert. Ainsi sur l'intervalle $$\left[\dfrac{\pi }{4} ;\dfrac{3\pi }{4} \right]$$ on aura $$\sin \left(x\right)\ge \dfrac{\sqrt{2} }{2}$$, c'est-à-dire $$-2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} \le 0$$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$-2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} \le 0$$ sur $$\left]-\pi ;\pi \right]$$ sont :

$$\red{\text{Étape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$2\sin \left(x\right)-3=0$$ sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right[$$
$$2\sin \left(x\right)-3=0\Leftrightarrow 2\sin \left(x\right)=3\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=\dfrac{3}{2}$$.
Or $$\dfrac{3}{2}>1$$. Un sinus ne peut jamais être égal à $$\dfrac{3}{2}$$ : l'équation n'a pas de solution, $$S=\varnothing$$.
$$\red{\text{Étape 2 :}}$$ on résout $$2\sin \left(x\right)-3\ge 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$2\sin \left(x\right)-3\ge 0\Leftrightarrow 2\sin \left(x\right)\ge 3\Leftrightarrow \sin \left(x\right)\ge \dfrac{3}{2}$$
La droite rouge en pointillés est au-dessus du cercle car $$\dfrac{3}{2}>1$$ : aucun point du cercle n'a une ordonnée supérieure ou égale à $$\dfrac{3}{2}$$. Il n'y a donc ni segment vert ni arc vert.
En effet, pour tout réel $$x$$, $$\sin \left(x\right)\le 1$$, donc $$2\sin \left(x\right)-3\le 2-3=-1< 0$$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$2\sin \left(x\right)-3\ge 0$$ sur $$\left[0;2\pi \right[$$ sont :