Résoudre des inéquations trigonométriques - Exercice 1

$$\red{\text{Étape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$\cos \left(x\right)=\dfrac{\sqrt{2} }{2}$$ sur l'intervalle $$\left]-\pi ;\pi \right]$$
Or $$\cos \left(\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2} }{2}$$, ainsi $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{4} \right)$$
$$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{4}+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{4}+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Ici, ce sont les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
On va faire varier la valeur de $$k$$.
Dans un premier temps on prendra $$k=0$$, puis $$k=1$$.
En effet, avec ces deux valeurs de $$k$$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $$\left]-\pi ;\pi \right]$$.

• D'une part, lorsque $$k=0$$
  $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{4}+2\times 0\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{4}+2\times 0\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{4}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{4}} \end{array}\right.$$
  Or $$\dfrac{\pi }{4}\in \left]-\pi ;\pi \right]$$ et $$-\dfrac{\pi }{4}\in \left]-\pi ;\pi \right]$$.
  On garde pour le moment les solutions $$\dfrac{\pi }{4}$$ et $$-\dfrac{\pi }{4}$$.

• D'autre part, lorsque $$k=1$$
  $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{\pi }{4}+2\times 1\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{4}+2\times 1\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{9\pi }{4}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{7\pi }{4}} \end{array}\right.$$
  Or $$\dfrac{9\pi }{4}\notin \left]-\pi ;\pi \right]$$ et $$\dfrac{7\pi }{4}\notin \left]-\pi ;\pi \right]$$.

Enfin les solutions de l'équation $$\cos \left(x\right)=\dfrac{\sqrt{2} }{2}$$ sur $$\left]-\pi ;\pi \right]$$ sont : $$S=\left\{-\dfrac{\pi }{4} ;\dfrac{\pi }{4}\right\}$$.
$$\red{\text{Étape 2 :}}$$ on résout $$\cos \left(x\right)\ge \dfrac{\sqrt{2} }{2}$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$\cos \left(x\right)\ge \dfrac{\sqrt{2} }{2}\Leftrightarrow \cos \left(x\right)-\dfrac{\sqrt{2} }{2}\ge 0$$
Le segment vert représente la zone où $$\cos \left(x\right)\ge \dfrac{\sqrt{2} }{2}$$ : les points du cercle qui lui correspondent forment l'arc vert. Ainsi sur l'intervalle $$\left[-\dfrac{\pi }{4} ;\dfrac{\pi }{4} \right]$$ on aura $$\cos \left(x\right)\ge \dfrac{\sqrt{2} }{2}$$, c'est-à-dire $$\cos \left(x\right)-\dfrac{\sqrt{2} }{2}\ge 0$$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$\cos \left(x\right)\ge \dfrac{\sqrt{2} }{2}$$ sur $$\left]-\pi ;\pi \right]$$ sont :

$$\red{\text{Étape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$2\sin \left(x\right)=-\sqrt{3}$$ sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right[$$
$$2\sin \left(x\right)=-\sqrt{3} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\dfrac{\sqrt{3} }{2}$$.
Or $$\sin \left(-\dfrac{\pi }{3} \right)=-\dfrac{\sqrt{3} }{2}$$, ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{3} \right)$$
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{3}+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\dfrac{\pi }{3} \right)+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Ainsi : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{3}+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{4\pi }{3}+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Ici, ce sont les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
On va faire varier la valeur de $$k$$.
Dans un premier temps on prendra $$k=0$$, puis $$k=1$$.
En effet, avec ces deux valeurs de $$k$$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right[$$.

• D'une part, lorsque $$k=0$$
  $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{3}+2\times 0\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{4\pi }{3}+2\times 0\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{3}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{4\pi }{3}} \end{array}\right.$$
  Or $$-\dfrac{\pi }{3}\notin \left[0;2\pi \right[$$ et $$\dfrac{4\pi }{3}\in \left[0;2\pi \right[$$.
  On garde pour le moment la solution $$\dfrac{4\pi }{3}$$.

• D'autre part, lorsque $$k=1$$
  $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{3}+2\times 1\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{4\pi }{3}+2\times 1\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{5\pi }{3}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{10\pi }{3}} \end{array}\right.$$
  Or $$\dfrac{5\pi }{3}\in \left[0;2\pi \right[$$ et $$\dfrac{10\pi }{3}\notin \left[0;2\pi \right[$$.
  On garde pour le moment la solution $$\dfrac{5\pi }{3}$$.

Enfin les solutions de l'équation $$2\sin \left(x\right)=-\sqrt{3}$$ sur $$\left[0;2\pi \right[$$ sont : $$S=\left\{\dfrac{4\pi }{3} ;\dfrac{5\pi }{3}\right\}$$.
$$\red{\text{Étape 2 :}}$$ on résout $$2\sin \left(x\right)\le -\sqrt{3}$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$2\sin \left(x\right)\le -\sqrt{3} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)\le -\dfrac{\sqrt{3} }{2}$$
Le segment vert représente la zone où $$\sin \left(x\right)\le -\dfrac{\sqrt{3} }{2}$$ : les points du cercle qui lui correspondent forment l'arc vert. Ainsi sur l'intervalle $$\left[\dfrac{4\pi }{3} ;\dfrac{5\pi }{3} \right]$$ on aura $$\sin \left(x\right)\le -\dfrac{\sqrt{3} }{2}$$, c'est-à-dire $$2\sin \left(x\right)+\sqrt{3} \le 0$$, ou encore $$2\sin \left(x\right)\le -\sqrt{3}$$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$2\sin \left(x\right)\le -\sqrt{3}$$ sur $$\left[0;2\pi \right[$$ sont :

$$\red{\text{Étape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$2\sin \left(x\right)+1=0$$ sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right[$$
$$2\sin \left(x\right)+1=0\Leftrightarrow 2\sin \left(x\right)=-1\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\dfrac{1}{2}$$.
Or $$\sin \left(-\dfrac{\pi }{6} \right)=-\dfrac{1}{2}$$, ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{6} \right)$$
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{6}+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\dfrac{\pi }{6} \right)+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Ainsi : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{6}+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{7\pi }{6}+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Ici, ce sont les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
On va faire varier la valeur de $$k$$.
Dans un premier temps on prendra $$k=0$$, puis $$k=1$$.
En effet, avec ces deux valeurs de $$k$$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right[$$.

• D'une part, lorsque $$k=0$$
  $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{6}+2\times 0\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{7\pi }{6}+2\times 0\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{6}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{7\pi }{6}} \end{array}\right.$$
  Or $$-\dfrac{\pi }{6}\notin \left[0;2\pi \right[$$ et $$\dfrac{7\pi }{6}\in \left[0;2\pi \right[$$.
  On garde pour le moment la solution $$\dfrac{7\pi }{6}$$.

• D'autre part, lorsque $$k=1$$
  $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\dfrac{\pi }{6}+2\times 1\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{7\pi }{6}+2\times 1\pi } \end{array}\right.$$
  Donc : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\dfrac{11\pi }{6}} \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\dfrac{19\pi }{6}} \end{array}\right.$$
  Or $$\dfrac{11\pi }{6}\in \left[0;2\pi \right[$$ et $$\dfrac{19\pi }{6}\notin \left[0;2\pi \right[$$.
  On garde pour le moment la solution $$\dfrac{11\pi }{6}$$.

Enfin les solutions de l'équation $$2\sin \left(x\right)+1=0$$ sur $$\left[0;2\pi \right[$$ sont : $$S=\left\{\dfrac{7\pi }{6} ;\dfrac{11\pi }{6}\right\}$$.
$$\red{\text{Étape 2 :}}$$ on résout $$2\sin \left(x\right)+1< 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$2\sin \left(x\right)+1< 0\Leftrightarrow 2\sin \left(x\right)< -1\Leftrightarrow \sin \left(x\right)< -\dfrac{1}{2}$$
Le segment vert représente la zone où $$\sin \left(x\right)< -\dfrac{1}{2}$$ : les points du cercle qui lui correspondent forment l'arc vert. Ainsi sur l'intervalle $$\left]\dfrac{7\pi }{6} ;\dfrac{11\pi }{6} \right[$$ on aura $$\sin \left(x\right)< -\dfrac{1}{2}$$, c'est-à-dire $$2\sin \left(x\right)+1< 0$$. Les réels $$\dfrac{7\pi }{6}$$ et $$\dfrac{11\pi }{6}$$ sont exclus car l'inégalité est stricte : sur le cercle, leurs points sont creux.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$2\sin \left(x\right)+1< 0$$ sur $$\left[0;2\pi \right[$$ sont :

$$\red{\text{Étape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$\sqrt{2} \cos \left(x\right)+3=0$$ sur l'intervalle $$\left]-\pi ;\pi \right]$$
$$\sqrt{2} \cos \left(x\right)+3=0\Leftrightarrow \sqrt{2} \cos \left(x\right)=-3\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=-\dfrac{3}{\sqrt{2} }$$.
Or $$\dfrac{3}{\sqrt{2} }=\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\approx 2,12$$, donc $$-\dfrac{3}{\sqrt{2} }< -1$$.
Un cosinus ne peut jamais être égal à $$-\dfrac{3}{\sqrt{2} }$$ : l'équation n'a pas de solution, $$S=\varnothing$$.
$$\red{\text{Étape 2 :}}$$ on résout $$\sqrt{2} \cos \left(x\right)+3>0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$\sqrt{2} \cos \left(x\right)+3>0\Leftrightarrow \sqrt{2} \cos \left(x\right)>-3\Leftrightarrow \cos \left(x\right)>-\dfrac{3}{\sqrt{2} }$$
On divise par $$\sqrt{2}$$ qui est strictement positif, donc le sens de l'inégalité ne change pas.
La droite rouge en pointillés est à gauche du cercle car $$-\dfrac{3}{\sqrt{2} }< -1$$. Le segment vert, c'est-à-dire tout le diamètre horizontal, représente la zone où $$\cos \left(x\right)>-\dfrac{3}{\sqrt{2} }$$ : tout le cercle est vert.
En effet, pour tout réel $$x$$ de $$\left]-\pi ;\pi \right]$$, $$\cos \left(x\right)\ge -1>-\dfrac{3}{\sqrt{2} }$$, c'est-à-dire $$\sqrt{2} \cos \left(x\right)+3>0$$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$\sqrt{2} \cos \left(x\right)+3>0$$ sur $$\left]-\pi ;\pi \right]$$ sont :