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Petits problèmes.. - Exercice 1

15 min
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Question 1
On donne cos⁡(x)=−15\cos \left(x \right)=-\frac{1}{5} avec x∈[π2;π]x\in \left[\frac{\pi }{2} ;\pi \right].

Déterminer la valeur de sin⁡(x)\sin \left(x \right).

Correction
Pour tout réel xx, on a : cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
On sait que :
cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1 équivaut successivement à :
sin⁡2(x)+(−15)2=1\sin ^{2} \left(x\right)+\left(-\frac{1}{5} \right)^{2} =1 car cos⁡(x)=−15\cos \left(x\right)=-\frac{1}{5}
sin⁡2(x)+125=1\sin ^{2} \left(x\right)+\frac{1}{25} =1
sin⁡2(x)=1−125\sin ^{2} \left(x\right)=1-\frac{1}{25}
sin⁡2(x)=2525−125\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{25}{25} -\frac{1}{25}
sin⁡2(x)=2425\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{24}{25}
Ainsi : sin⁡(x)=2425\sin \left(x\right)=\sqrt{\frac{24}{25} } ou sin⁡(x)=−2425\sin \left(x\right)=-\sqrt{\frac{24}{25} }
Or x∈[π2;π]x\in \left[\frac{\pi }{2} ;\pi \right]. Cela signifie que le sinus doit être positif.
On ne garde alors que
sin⁡(x)=2425=245\sin \left(x\right)=\sqrt{\frac{24}{25} } =\frac{\sqrt{24} }{5}
.
Question 2

Déterminer les valeurs de cos⁡(π−x)\cos \left(\pi-x \right) et tan⁡(x)\tan \left(x \right).

Correction
Pour tout réel xx, on a : cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos \left(\pi -x\right)=-\cos \left(x\right)
Ainsi : cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos \left(\pi -x\right)=-\cos \left(x\right) équivaut à :
cos⁡(π−x)=−(−15)=15\cos \left(\pi -x\right)=-\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{5}
.
Pour tout réel x∈R−{π2−kπ,k∈Z}x\in \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi }{2} -k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}, on a : tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}
Ainsi :
tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}
tan⁡(x)=(245)(−15)\tan \left(x\right)=\frac{\left(\frac{\sqrt{24} }{5} \right)}{\left(-\frac{1}{5} \right)}
(ab)(cd)=ab×dc\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{\left(\frac{c}{d} \right)} =\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
tan⁡(x)=245×−51\tan \left(x\right)=\frac{\sqrt{24} }{5} \times \frac{-5}{1}
tan⁡(x)=−24\tan \left(x\right)=-\sqrt{24}
tan⁡(x)=−4×6\tan \left(x\right)=-\sqrt{4\times 6}
tan⁡(x)=−26\tan \left(x\right)=-2\sqrt{6}
.