Fonctions trigonométriques

Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

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Question 1
La courbe représentative Cf\mathscr{C_{f}} de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=1+3cos⁡(x)f\left(x\right)=1+3\cos (x) est tracée ci-dessous sur l'intervalle [0;π]\left[0;\pi\right] .

Etudier la parité de ff . Que peut-on en déduire? Compléter alors Cf\mathscr{C_{f}} sur l'intervalle [−π;0]\left[-\pi;0\right] .

Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=\sin \left(x\right)
    • Pur tout réel xx, on a :
    f(−x)=1+3cos⁡(−x)f\left(-x\right)=1+3\cos (-x) équivaut successivement à :
    f(−x)=1+3cos⁡(x)f\left(-x\right)=1+3\cos (x) car cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)
    Ainsi :
    f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction paire.
  • La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    • Comme ff est paire, on complète Cf\mathscr{C_{f}} sur l'intervalle [−π;0]\left[-\pi;0\right] par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
    Question 2

    Calculer f(x+2π)f\left(x+2\pi \right) et en déduire une propriété graphique de Cf\mathscr{C_{f}} . Compléter alors Cf\mathscr{C_{f}} sur [π;3π]\left[\pi;3\pi\right] .

    Correction
  • ff est T−T-périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)f\left(x+T\right)=f\left(x\right)
  • Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−2\pi -périodique, c'est-à-dire cos⁡(x+2π)=cos⁡(x)\cos \left(x+2\pi \right)=\cos \left(x\right) et sin⁡(x+2π)=sin⁡(x)\sin \left(x+2\pi \right)=\sin \left(x\right)
    • f(x+2π)=1+3cos⁡(x+2π)f\left(x+2\pi\right)=1+3\cos (x+2\pi) équivaut successivement à
    f(x+2π)=1+3cos⁡(x)f\left(x+2\pi \right)=1+3\cos (x)
    Il en résulte que
    f(x+2π)=f(x)f\left(x+2\pi \right)=f\left(x\right)
    donc ff est 2π−2\pi -périodique.
    Comme ff est périodique de période 2π2\pi, on complète Cf\mathscr{C_{f}} sur l'intervalle [π;3π]\left[\pi;3\pi\right] en répétant la courbe Cf\mathscr{C_{f}} sur l'intervalle [−π;π]\left[-\pi;\pi\right] en faisant une translation de vecteur 2πi→2\pi \overrightarrow{i} .