Fonctions trigonométriques

Exercices types : 11ère partie - Exercice 4

30 min
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On admet que sin⁡(π8)=2−22\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} .
Question 1

Calculez cos⁡(π8)\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)

Correction
Pour tout réel xx, on a : cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
cos⁡2(π8)+sin⁡2(π8)=1\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)+\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=1 équivaut successivement à :
cos⁡2(π8)+(2−22)2=1\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)+\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} \right)^{2} =1
cos⁡2(π8)+(2−2)222=1\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)+\frac{\left(\sqrt{2-\sqrt{2} } \right)^{2} }{2^{2} } =1
cos⁡2(π8)+2−24=1\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)+\frac{2-\sqrt{2} }{4} =1
cos⁡2(π8)+2−24=1\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)+\frac{2-\sqrt{2} }{4} =1
cos⁡2(π8)=1−2−24\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=1-\frac{2-\sqrt{2} }{4}
cos⁡2(π8)=44−2−24\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{4}{4} -\frac{2-\sqrt{2} }{4}
cos⁡2(π8)=4−(2−2)4\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{4-\left(2-\sqrt{2} \right)}{4}
cos⁡2(π8)=4−2+24\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{4-2+\sqrt{2} }{4}
cos⁡2(π8)=2+24\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{2+\sqrt{2} }{4}
cos⁡(π8)=2+24\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2} }{4} }
cos⁡(π8)=2+24\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{\sqrt{4} }
Finalement :
cos⁡(π8)=2+22\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}

Question 2

Simplifier π2−π8\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{8} ; π+π8\pi +\frac{\pi }{8} et π2+π8\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{8}

Correction
  • π2−π8=4π8−π8=3π8\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{8}=\frac{4\pi }{8} -\frac{\pi }{8}=\frac{3\pi }{8}
  • π+π8=8π8+π8=9π8\pi +\frac{\pi }{8}=\frac{8\pi }{8} +\frac{\pi }{8}=\frac{9\pi }{8}
  • π2+π8=4π8+π8=5π8\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{8}=\frac{4\pi }{8} +\frac{\pi }{8}=\frac{5\pi }{8}
    • Question 3
    En déduire :

    cos⁡(3π8)\cos \left(\frac{3\pi }{8} \right)

    Correction
    cos⁡(3π8)=cos⁡(π2−π8)\cos \left(\frac{3\pi }{8} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{8} \right)
    Pour tout réel xx, on a : cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi }{2} -x\right)=\sin\left(x\right)
    D'où :
    cos⁡(3π8)=cos⁡(π2−π8)=sin⁡(π8)\cos \left(\frac{3\pi }{8} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{8} \right)=\sin\left(\frac{\pi }{8}\right)
    Finalement :
    cos⁡(3π8)=2−22\cos \left(\frac{3\pi }{8} \right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}

    Question 4

    sin⁡(9π8)\sin \left(\frac{9\pi }{8} \right)

    Correction
    sin⁡(9π8)=sin⁡(π+π8)\sin \left(\frac{9\pi }{8} \right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{8} \right)
    Pour tout réel xx, on a : sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin\left(\pi+x\right)=-\sin\left(x\right)
    D'où :
    sin⁡(9π8)=sin⁡(π+π8)=−sin⁡(π8)\sin \left(\frac{9\pi }{8} \right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{8} \right)=-\sin\left(\frac{\pi }{8}\right)
    Finalement :
    sin⁡(9π8)=−2−22\sin \left(\frac{9\pi }{8} \right)=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}
    Question 5

    sin⁡(5π8)\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)

    Correction
    sin⁡(5π8)=sin⁡(π2+π8)\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{8} \right)
    Pour tout réel xx, on a : sin⁡(π2+x)=cos⁡(x)\sin\left(\frac{\pi }{2} +x\right)=\cos\left(x\right)
    D'où :
    sin⁡(5π8)=sin⁡(π2+π8)=cos⁡(π8)\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{8} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)
    Finalement :
    sin⁡(5π8)=2+22\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}
    Question 6

    Résoudre dans [0;2π[\left[0;2\pi\right[ l'équation sin⁡(x)=2−22\sin \left(x \right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}

    Correction
    D'après l'hypothèse initiale de l'exercice, nous savons que : sin⁡(π8)=2−22\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}
    Il vient alors que :
    sin⁡(x)=2−22\sin \left(x \right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} équivaut successivement à :
    sin⁡(x)=sin⁡(π8)\sin \left(x \right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)
    sin⁡(a)=sin⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=π−b+2kπ\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    sin⁡(x)=sin⁡(π8)⇔{x=π8+2kπoux=π−π8+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
    Enfin : sin⁡(x)=sin⁡(π8)⇔{x=π8+2kπoux=7π8+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{7\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ici, ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    On va faire varier la valeur de kk.
    Dans un premier temps on prendra k=0k=0, puis k=1k=1.
    En effet, avec ces deux valeurs de kk, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[.
    • D'une part , lorsque k=0k=0
      sin⁡(x)=sin⁡(π8)⇔{x=π8+2×0πoux=7π8+2×0π\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{8} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{7\pi }{8} +2\times 0\pi } \end{array}\right.
      Donc : sin⁡(x)=sin⁡(π8)⇔{x=π8oux=7π8\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{8} } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{7\pi }{8} } \end{array}\right.
      Or π8∈[0;2π[\frac{\pi }{8} \in \left[0;2\pi \right[ et 7π8∈[0;2π[\frac{7\pi }{8} \in \left[0;2\pi \right[.
      On garde pour le moment les solutions π8\frac{\pi }{8} et 7π8\frac{7\pi }{8} .
    • D'autre part , lorsque k=1k=1
      sin⁡(x)=sin⁡(π8)⇔{x=π8+2×1πoux=7π8+2×1π\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{8} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{7\pi }{8} +2\times 1\pi } \end{array}\right.
      Donc : sin⁡(x)=sin⁡(π8)⇔{x=17π8oux=23π8\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{17\pi }{8} } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{23\pi }{8} } \end{array}\right.
      Or 17π8∉[0;2π[\frac{17\pi }{8} \notin \left[0;2\pi \right[ et 23π8∉[0;2π[\frac{23\pi }{8} \notin \left[0;2\pi \right[.

    Finalement, les solutions de sin⁡(x)=sin⁡(π8)\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right) sur [0;2π[\left[0;2\pi \right[ sont :
    S={π8;7π8}S=\left\{\frac{\pi }{8} ;\frac{7\pi }{8} \right\}
    Si vous faites varier les valeurs de kk, tels que k≥2k\ge 2 ou k≤−1k\le -1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[