Exercices types : $1$<sup>ère</sup> partie - Fonctions trigonométriques - Spécialité

Question 1

Expliquer pourquoi $\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}$

Correction

\cos \left(x+2k\pi \right)=\cos \left(x\right)

où

k\in \mathbb{Z}

\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{24\pi+\pi}{3} \right)

\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{24\pi}{3}+\frac{\pi}{3} \right)

\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(8\pi +\frac{\pi}{3} \right)

\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(4\times 2\pi +\frac{\pi}{3} \right)

\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)

Or :

\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}

. Ainsi :

\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}

Question 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\cos \left(x \right)=\frac{1}{2}$

Correction

\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

On sait que :

\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}

. Or

\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}

.
Cela nous ramène donc à résoudre :

\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)

.

\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Ainsi :

S=\left\{-\frac{\pi }{3} +2k\pi ;\frac{\pi }{3} +2k\pi \right\}

avec

k\in \mathbb{Z}

.

Question 3

Donnez les solutions de l'équation précédente qui sont des mesures principales d'un angle.

Correction

Une mesure principale d'un angle appartient à l'intervalle

\left]-\pi ;\pi \right]

.
Les solutions de l'équation

\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}

sont

S=\left\{-\frac{\pi }{3} +2k\pi ;\frac{\pi }{3} +2k\pi \right\}

avec

k\in \mathbb{R}

Ainsi la mesure

\frac{\pi }{3}

et

-\frac{\pi }{3}

sont des mesures principales.
D'où :

S=\left\{-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3} \right\}

.

Question 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sin \left(x \right)=\sin \left(\frac{5\pi}{8} \right)$

Correction

\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

Cela nous ramène donc à résoudre :

\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)

.

\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Finalement :

\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{3\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Ainsi :

S=\left\{\frac{3\pi }{8} +2k\pi ;\frac{5\pi }{8} +2k\pi \right\}

avec

k\in \mathbb{Z}

.

Exercices types : 111ère partie - Exercice 2

Expliquer pourquoi cos⁡(25π3)=12\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}cos(325π​)=21​

Résoudre dans R\mathbb{R}R l'équation : cos⁡(x)=12\cos \left(x \right)=\frac{1}{2}cos(x)=21​

Donnez les solutions de l'équation précédente qui sont des mesures principales d'un angle.

Résoudre dans R\mathbb{R}R l'équation : sin⁡(x)=sin⁡(5π8)\sin \left(x \right)=\sin \left(\frac{5\pi}{8} \right)sin(x)=sin(85π​)

Exercices types : $1$ ^ère partie - Exercice 2

Expliquer pourquoi $\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\cos \left(x \right)=\frac{1}{2}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sin \left(x \right)=\sin \left(\frac{5\pi}{8} \right)$