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Fonctions trigonométriques
Exercices types :
1
1
1
ère
partie - Exercice 2
20 min
35
Question 1
Expliquer pourquoi
cos
(
25
π
3
)
=
1
2
\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}
cos
(
3
25
π
)
=
2
1
Correction
cos
(
x
+
2
k
π
)
=
cos
(
x
)
\cos \left(x+2k\pi \right)=\cos \left(x\right)
cos
(
x
+
2
kπ
)
=
cos
(
x
)
où
k
∈
Z
k\in \mathbb{Z}
k
∈
Z
cos
(
25
π
3
)
=
cos
(
24
π
+
π
3
)
\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{24\pi+\pi}{3} \right)
cos
(
3
25
π
)
=
cos
(
3
24
π
+
π
)
cos
(
25
π
3
)
=
cos
(
24
π
3
+
π
3
)
\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{24\pi}{3}+\frac{\pi}{3} \right)
cos
(
3
25
π
)
=
cos
(
3
24
π
+
3
π
)
cos
(
25
π
3
)
=
cos
(
8
π
+
π
3
)
\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(8\pi +\frac{\pi}{3} \right)
cos
(
3
25
π
)
=
cos
(
8
π
+
3
π
)
cos
(
25
π
3
)
=
cos
(
4
×
2
π
+
π
3
)
\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(4\times 2\pi +\frac{\pi}{3} \right)
cos
(
3
25
π
)
=
cos
(
4
×
2
π
+
3
π
)
cos
(
25
π
3
)
=
cos
(
π
3
)
\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)
cos
(
3
25
π
)
=
cos
(
3
π
)
Or :
cos
(
π
3
)
=
1
2
\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}
cos
(
3
π
)
=
2
1
. Ainsi :
cos
(
25
π
3
)
=
1
2
\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}
cos
(
3
25
π
)
=
2
1
Question 2
Résoudre dans
R
\mathbb{R}
R
l'équation :
cos
(
x
)
=
1
2
\cos \left(x \right)=\frac{1}{2}
cos
(
x
)
=
2
1
Correction
cos
(
a
)
=
cos
(
b
)
⇔
{
a
=
b
+
2
k
π
ou
a
=
−
b
+
2
k
π
\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right.
cos
(
a
)
=
cos
(
b
)
⇔
⎩
⎨
⎧
a
a
=
ou
=
b
+
2
kπ
−
b
+
2
kπ
avec
k
∈
Z
k\in \mathbb{Z}
k
∈
Z
. Ce sont les solutions sur
R
\mathbb{R}
R
.
On sait que :
cos
(
x
)
=
1
2
\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}
cos
(
x
)
=
2
1
. Or
cos
(
π
3
)
=
1
2
\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}
cos
(
3
π
)
=
2
1
.
Cela nous ramène donc à résoudre :
cos
(
x
)
=
cos
(
π
3
)
\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)
cos
(
x
)
=
cos
(
3
π
)
.
cos
(
x
)
=
cos
(
π
3
)
⇔
{
x
=
π
3
+
2
k
π
o
u
x
=
−
π
3
+
2
k
π
\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.
cos
(
x
)
=
cos
(
3
π
)
⇔
⎩
⎨
⎧
x
x
=
o
u
=
3
π
+
2
kπ
−
3
π
+
2
kπ
avec
k
∈
Z
k\in \mathbb{Z}
k
∈
Z
.
Ainsi :
S
=
{
−
π
3
+
2
k
π
;
π
3
+
2
k
π
}
S=\left\{-\frac{\pi }{3} +2k\pi ;\frac{\pi }{3} +2k\pi \right\}
S
=
{
−
3
π
+
2
kπ
;
3
π
+
2
kπ
}
avec
k
∈
Z
k\in \mathbb{Z}
k
∈
Z
.
Question 3
Donnez les solutions de l'équation précédente qui sont des mesures principales d'un angle.
Correction
Une mesure principale d'un angle appartient à l'intervalle
]
−
π
;
π
]
\left]-\pi ;\pi \right]
]
−
π
;
π
]
.
Les solutions de l'équation
cos
(
x
)
=
1
2
\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}
cos
(
x
)
=
2
1
sont
S
=
{
−
π
3
+
2
k
π
;
π
3
+
2
k
π
}
S=\left\{-\frac{\pi }{3} +2k\pi ;\frac{\pi }{3} +2k\pi \right\}
S
=
{
−
3
π
+
2
kπ
;
3
π
+
2
kπ
}
avec
k
∈
R
k\in \mathbb{R}
k
∈
R
Ainsi la mesure
π
3
\frac{\pi }{3}
3
π
et
−
π
3
-\frac{\pi }{3}
−
3
π
sont des mesures principales.
D'où :
S
=
{
−
π
3
;
π
3
}
S=\left\{-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3} \right\}
S
=
{
−
3
π
;
3
π
}
.
Question 4
Résoudre dans
R
\mathbb{R}
R
l'équation :
sin
(
x
)
=
sin
(
5
π
8
)
\sin \left(x \right)=\sin \left(\frac{5\pi}{8} \right)
sin
(
x
)
=
sin
(
8
5
π
)
Correction
sin
(
a
)
=
sin
(
b
)
⇔
{
a
=
b
+
2
k
π
ou
a
=
π
−
b
+
2
k
π
\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right.
sin
(
a
)
=
sin
(
b
)
⇔
⎩
⎨
⎧
a
a
=
ou
=
b
+
2
kπ
π
−
b
+
2
kπ
avec
k
∈
Z
k\in \mathbb{Z}
k
∈
Z
. Ce sont les solutions sur
R
\mathbb{R}
R
.
Cela nous ramène donc à résoudre :
sin
(
x
)
=
sin
(
5
π
8
)
\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)
sin
(
x
)
=
sin
(
8
5
π
)
.
sin
(
x
)
=
sin
(
5
π
8
)
⇔
{
x
=
5
π
8
+
2
k
π
o
u
x
=
π
−
5
π
8
+
2
k
π
\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right.
sin
(
x
)
=
sin
(
8
5
π
)
⇔
⎩
⎨
⎧
x
x
=
o
u
=
8
5
π
+
2
kπ
π
−
8
5
π
+
2
kπ
avec
k
∈
Z
k\in \mathbb{Z}
k
∈
Z
.
Finalement :
sin
(
x
)
=
sin
(
5
π
8
)
⇔
{
x
=
5
π
8
+
2
k
π
o
u
x
=
3
π
8
+
2
k
π
\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{3\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right.
sin
(
x
)
=
sin
(
8
5
π
)
⇔
⎩
⎨
⎧
x
x
=
o
u
=
8
5
π
+
2
kπ
8
3
π
+
2
kπ
avec
k
∈
Z
k\in \mathbb{Z}
k
∈
Z
.
Ainsi :
S
=
{
3
π
8
+
2
k
π
;
5
π
8
+
2
k
π
}
S=\left\{\frac{3\pi }{8} +2k\pi ;\frac{5\pi }{8} +2k\pi \right\}
S
=
{
8
3
π
+
2
kπ
;
8
5
π
+
2
kπ
}
avec
k
∈
Z
k\in \mathbb{Z}
k
∈
Z
.