Fonctions trigonométriques

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

20 min
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Question 1
Soit xx un réel de l'intervalle [−π2;0]\left[-\frac{\pi }{2} ;0\right] tel que cos⁡(x)=34\cos \left(x\right)=\frac{3}{4}

Calculer la valeur exacte sin⁡(x)\sin \left(x\right).

Correction
Pour tout réel xx, on a : cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
On sait que :
cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1 équivaut successivement à :
(34)2+sin⁡2(x)=1\left(\frac{3}{4} \right)^{2}+\sin ^{2} \left(x\right) =1 car cos⁡(x)=34\cos \left(x\right)=\frac{3}{4}
916+sin⁡2(x)=1\frac{9}{16}+\sin ^{2} \left(x\right)=1
sin⁡2(x)=1−916\sin ^{2} \left(x\right)=1-\frac{9}{16}
sin⁡2(x)=1616−916\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{16}{16} -\frac{9}{16}
sin⁡2(x)=716\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{7}{16}
Ainsi : sin⁡(x)=716\sin \left(x\right)=\sqrt{\frac{7}{16} } ou sin⁡(x)=−716\sin \left(x\right)=-\sqrt{\frac{7}{16} }
Or x∈[−π2;0]x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;0 \right].
On ne garde alors que
sin⁡(x)=−716\sin \left(x\right)=-\sqrt{\frac{7}{16} }
.
En effet, sur l'intervalle [−π2;0]\left[-\frac{\pi }{2} ;0 \right] le sinus est négatif.
Question 2

En déduire : cos⁡(x+π)\cos \left(x+\pi \right) ; sin⁡(π−x)\sin \left(\pi -x\right) ; sin⁡(π2−x)\sin \left(\frac{\pi }{2} -x\right) ; cos⁡(π2+x)\cos \left(\frac{\pi }{2} +x\right) ; cos⁡(x+2π)\cos \left(x+2\pi \right)

Correction
  • D'après le cours on sait que : cos⁡(x+π)=−cos⁡(x)\cos \left(x+\pi \right)=-\cos \left(x\right)
    Ainsi : cos⁡(x+π)=−cos⁡(x)=−34\cos \left(x+\pi \right)=-\cos \left(x\right)=-\frac{3}{4}

  • D'après le cours on sait que : sin⁡(π−x)=sin⁡(x)\sin \left(\pi -x\right)=\sin \left(x\right)
    Ainsi : sin⁡(π−x)=sin⁡(x)=−716\sin \left(\pi -x\right)=\sin \left(x\right)=-\sqrt{\frac{7}{16}}

  • D'après le cours on sait que : sin⁡(π2−x)=cos⁡(x)\sin \left(\frac{\pi }{2} -x\right)=\cos \left(x\right)
    Ainsi : sin⁡(π2−x)=cos⁡(x)=34\sin \left(\frac{\pi }{2} -x\right)=\cos \left(x\right)=\frac{3}{4}

  • D'après le cours on sait que : cos⁡(π2+x)=−sin⁡(x)\cos \left(\frac{\pi }{2} +x\right)=-\sin \left(x\right)
    Ainsi : cos⁡(π2+x)=−sin⁡(x)=716\cos \left(\frac{\pi }{2} +x\right)=-\sin \left(x\right)=\sqrt{\frac{7}{16}}

  • D'après le cours on sait que : cos⁡(x+2π)=cos⁡(x)\cos \left(x+2\pi \right)=\cos \left(x\right)
    Ainsi : cos⁡(x+2π)=cos⁡(x)=34\cos \left(x+2\pi \right)=\cos \left(x\right)=\frac{3}{4}
Question 3

Calculer A=(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+(cos⁡(x)−sin⁡(x))2A=\left(\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\right)^{2} +\left(\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\right)^{2}

Correction
A=(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+(cos⁡(x)−sin⁡(x))2A=\left(\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\right)^{2} +\left(\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\right)^{2} équivaut successivement à :
A=cos⁡2(x)+2cos⁡(x)sin⁡(x)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)−2cos⁡(x)sin⁡(x)+sin⁡2(x)A=\cos ^{2} \left(x\right)+2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)+\cos ^{2} \left(x\right)-2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)
A=cos⁡2(x)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)+sin⁡2(x)A=\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)+\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)
Pour tout réel xx, on a : cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
A=2A=2