cos2(x)+sin2(x)=1 équivaut successivement à : (43)2+sin2(x)=1 car cos(x)=43 169+sin2(x)=1 sin2(x)=1−169 sin2(x)=1616−169 sin2(x)=167 Ainsi : sin(x)=167 ou sin(x)=−167 Or x∈[−2π;0]. On ne garde alors que
sin(x)=−167
. En effet, sur l'intervalle [−2π;0] le sinus est négatif.
D'après le cours on sait que : cos(x+π)=−cos(x) Ainsi : cos(x+π)=−cos(x)=−43
D'après le cours on sait que : sin(π−x)=sin(x) Ainsi : sin(π−x)=sin(x)=−167
D'après le cours on sait que : sin(2π−x)=cos(x) Ainsi : sin(2π−x)=cos(x)=43
D'après le cours on sait que : cos(2π+x)=−sin(x) Ainsi : cos(2π+x)=−sin(x)=167
D'après le cours on sait que : cos(x+2π)=cos(x) Ainsi : cos(x+2π)=cos(x)=43
3
Calculer A=(cos(x)+sin(x))2+(cos(x)−sin(x))2
Correction
A=(cos(x)+sin(x))2+(cos(x)−sin(x))2 équivaut successivement à : A=cos2(x)+2cos(x)sin(x)+sin2(x)+cos2(x)−2cos(x)sin(x)+sin2(x) A=cos2(x)+sin2(x)+cos2(x)+sin2(x)
Pour tout réel x, on a : cos2(x)+sin2(x)=1
A=2
Exercice 2
1
Expliquer pourquoi cos(325π)=21
Correction
cos(x+2kπ)=cos(x) où k∈Z
cos(325π)=cos(324π+π) cos(325π)=cos(324π+3π) cos(325π)=cos(8π+3π) cos(325π)=cos(4×2π+3π) cos(325π)=cos(3π) Or : cos(3π)=21. Ainsi : cos(325π)=21
2
Résoudre dans R l'équation : cos(x)=21
Correction
cos(a)=cos(b)⇔⎩⎨⎧aa=ou=b+2kπ−b+2kπ avec k∈Z. Ce sont les solutions sur R.
On sait que : cos(x)=21. Or cos(3π)=21. Cela nous ramène donc à résoudre : cos(x)=cos(3π). cos(x)=cos(3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=3π+2kπ−3π+2kπ avec k∈Z. Ainsi :
S={−3π+2kπ;3π+2kπ}
avec k∈Z.
3
Donnez les solutions de l'équation précédente qui sont des mesures principales d'un angle.
Correction
Une mesure principale d'un angle appartient à l'intervalle ]−π;π]. Les solutions de l'équation cos(x)=21 sont
S={−3π+2kπ;3π+2kπ}
avec k∈R Ainsi la mesure 3π et −3π sont des mesures principales. D'où :
S={−3π;3π}
.
4
Résoudre dans R l'équation : sin(x)=sin(85π)
Correction
sin(a)=sin(b)⇔⎩⎨⎧aa=ou=b+2kππ−b+2kπ avec k∈Z. Ce sont les solutions sur R.
Cela nous ramène donc à résoudre : sin(x)=sin(85π). sin(x)=sin(85π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=85π+2kππ−85π+2kπ avec k∈Z. Finalement : sin(x)=sin(85π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=85π+2kπ83π+2kπ avec k∈Z. Ainsi :
S={83π+2kπ;85π+2kπ}
avec k∈Z.
Exercice 3
Simplifier, sans utiliser de calculatrice, les expressions suivantes :
1
A=cos(x+π)+cos(−x)
Correction
A=cos(x+π)+cos(−x) équivaut successivement à : A=−cos(x)+cos(x) Ainsi :
A=0
2
B=sin(2π−x)+cos(π−x)
Correction
B=sin(2π−x)+cos(π−x) équivaut successivement à : B=cos(x)−cos(x) Ainsi :
B=0
3
C=sin(2π−x)+sin(π−x)
Correction
C=sin(2π−x)+sin(π−x) équivaut successivement à : C=sin(−x)+sin(x) C=−sin(x)+sin(x) Ainsi :
D'après l'hypothèse initiale de l'exercice, nous savons que : sin(8π)=22−2 Il vient alors que : sin(x)=22−2 équivaut successivement à : sin(x)=sin(8π)
sin(a)=sin(b)⇔⎩⎨⎧aa=ou=b+2kππ−b+2kπ avec k∈Z. Ce sont les solutions sur R.
sin(x)=sin(8π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=8π+2kππ−8π+2kπ avec k∈Z. Enfin : sin(x)=sin(8π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=8π+2kπ87π+2kπ avec k∈Z. Ici, ce sont les solutions sur R. On va faire varier la valeur de k. Dans un premier temps on prendra k=0, puis k=1. En effet, avec ces deux valeurs de k, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle [0;2π[.
D'une part , lorsque k=0 sin(x)=sin(8π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=8π+2×0π87π+2×0π Donc : sin(x)=sin(8π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=8π87π Or 8π∈[0;2π[ et 87π∈[0;2π[. On garde pour le moment les solutions 8π et 87π.
D'autre part , lorsque k=1 sin(x)=sin(8π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=8π+2×1π87π+2×1π Donc : sin(x)=sin(8π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=817π823π Or 817π∈/[0;2π[ et 823π∈/[0;2π[.
Finalement, les solutions de sin(x)=sin(8π) sur [0;2π[ sont :
S={8π;87π}
Si vous faites varier les valeurs de k, tels que k≥2 ou k≤−1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle [0;2π[
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