Exercices types : $1$^ère partie

On sait que :
$\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1$ équivaut successivement à :
$\left(\frac{3}{4} \right)^{2}+\sin ^{2} \left(x\right) =1$ car $\cos \left(x\right)=\frac{3}{4}$
$\frac{9}{16}+\sin ^{2} \left(x\right)=1$
$\sin ^{2} \left(x\right)=1-\frac{9}{16}$
$\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{16}{16} -\frac{9}{16}$
$\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{7}{16}$
Ainsi : $\sin \left(x\right)=\sqrt{\frac{7}{16} }$ ou $\sin \left(x\right)=-\sqrt{\frac{7}{16} }$
Or $x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;0 \right]$.
On ne garde alors que .
En effet, sur l'intervalle $\left[-\frac{\pi }{2} ;0 \right]$ le sinus est négatif.

$A=\left(\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\right)^{2} +\left(\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\right)^{2}$ équivaut successivement à :
$A=\cos ^{2} \left(x\right)+2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)+\cos ^{2} \left(x\right)-2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)$
$A=\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)+\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)$

$\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{24\pi+\pi}{3} \right)$
$\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{24\pi}{3}+\frac{\pi}{3} \right)$
$\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(8\pi +\frac{\pi}{3} \right)$
$\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(4\times 2\pi +\frac{\pi}{3} \right)$
$\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)$
Or : $\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}$. Ainsi : $\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}$

On sait que : $\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}$. Or $\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}$.
Cela nous ramène donc à résoudre : $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)$.
$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Ainsi : avec $k\in \mathbb{Z}$.

Une mesure principale d'un angle appartient à l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$.
Les solutions de l'équation $\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}$ sont avec $k\in \mathbb{R}$
Ainsi la mesure $\frac{\pi }{3}$ et $-\frac{\pi }{3}$ sont des mesures principales.
D'où : .

Cela nous ramène donc à résoudre : $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)$.
$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Finalement : $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{3\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Ainsi : avec $k\in \mathbb{Z}$.

$A=\cos \left(x+\pi \right)+\cos \left(-x\right)$ équivaut successivement à :
$A=-\cos \left(x \right)+\cos \left(x\right)$
Ainsi :

$B=\sin \left(\frac{\pi }{2} -x\right)+\cos \left(\pi -x\right)$ équivaut successivement à :
$B=\cos \left(x\right)-\cos \left(x\right)$
Ainsi :

$C=\sin \left(2\pi -x\right)+\sin \left(\pi -x\right)$ équivaut successivement à :
$C=\sin \left( -x\right)+\sin \left(x\right)$
$C=-\sin \left(x\right)+\sin \left(x\right)$
Ainsi :

$\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)+\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=1$ équivaut successivement à :
$\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)+\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} \right)^{2} =1$
$\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)+\frac{\left(\sqrt{2-\sqrt{2} } \right)^{2} }{2^{2} } =1$
$\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)+\frac{2-\sqrt{2} }{4} =1$
$\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)+\frac{2-\sqrt{2} }{4} =1$
$\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=1-\frac{2-\sqrt{2} }{4}$
$\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{4}{4} -\frac{2-\sqrt{2} }{4}$
$\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{4-\left(2-\sqrt{2} \right)}{4}$
$\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{4-2+\sqrt{2} }{4}$
$\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{2+\sqrt{2} }{4}$
$\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2} }{4} }$
$\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{\sqrt{4} }$
Finalement :

$\cos \left(\frac{3\pi }{8} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{8} \right)$
D'où :
$\cos \left(\frac{3\pi }{8} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{8} \right)=\sin\left(\frac{\pi }{8}\right)$
Finalement :

$\sin \left(\frac{9\pi }{8} \right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{8} \right)$
D'où :
$\sin \left(\frac{9\pi }{8} \right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{8} \right)=-\sin\left(\frac{\pi }{8}\right)$
Finalement :

$\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{8} \right)$
D'où :
$\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{8} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)$
Finalement :

D'après l'hypothèse initiale de l'exercice, nous savons que : $\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}$
Il vient alors que :
$\sin \left(x \right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}$ équivaut successivement à :
$\sin \left(x \right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)$
$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Enfin : $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{7\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Ici, ce sont les solutions sur $\mathbb{R}$.
On va faire varier la valeur de $k$.
Dans un premier temps on prendra $k=0$, puis $k=1$.
En effet, avec ces deux valeurs de $k$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $\left[0;2\pi \right[$.

• D'une part , lorsque $k=0$
  $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{8} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{7\pi }{8} +2\times 0\pi } \end{array}\right.$
  Donc : $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{8} } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{7\pi }{8} } \end{array}\right.$
  Or $\frac{\pi }{8} \in \left[0;2\pi \right[$ et $\frac{7\pi }{8} \in \left[0;2\pi \right[$.
  On garde pour le moment les solutions $\frac{\pi }{8}$ et $\frac{7\pi }{8}$.

• D'autre part , lorsque $k=1$
  $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{8} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{7\pi }{8} +2\times 1\pi } \end{array}\right.$
  Donc : $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{17\pi }{8} } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{23\pi }{8} } \end{array}\right.$
  Or $\frac{17\pi }{8} \notin \left[0;2\pi \right[$ et $\frac{23\pi }{8} \notin \left[0;2\pi \right[$.

Finalement, les solutions de $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{8} \right)$ sur $\left[0;2\pi \right[$ sont :