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Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle ]−π;π]
On commence par chercher les solutions sur R puis après on fait varier k.
cos(x)=cos(32π)
Correction
cos(x)=cos(32π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=32π+2kπ−32π+2kπ avec k∈Z. Ici, ce sont les solutions sur R. On va faire varier la valeur de k. Dans un premier temps on prendra k=0, puis k=1. En effet, avec ces deux valeurs de k, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle ]−π;π].
D'une part, lorsque k=0 cos(x)=cos(32π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=32π+2×0π−32π+2×0π Donc : cos(x)=cos(32π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=32π−32π Or 32π∈]−π;π] et −32π∈]−π;π]. On garde pour le moment les solutions −32π et 32π.
D'autre part, lorsque k=1 cos(x)=cos(32π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=32π+2×1π−32π+2×1π Donc : cos(x)=cos(32π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=38π34π Or 34π∈/]−π;π] et 38π∈/]−π;π].
Finalement, les solutions de cos(x)=cos(32π)sur ]−π;π] sont :
S={−32π;32π}
Si vous faites varier les valeurs de k, tels que k≥2 ou k≤−1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle ]−π;π]
Question 2
sin(x)=sin(65π)
Correction
sin(x)=sin(65π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=65π+2kππ−65π+2kπ avec k∈Z. Enfin : sin(x)=sin(65π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=65π+2kπ6π+2kπ avec k∈Z. Ici, ce sont les solutions sur R. On va faire varier la valeur de k. Dans un premier temps on prendra k=0, puis k=1. En effet, avec ces deux valeurs de k, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle ]−π;π].
D'une part , lorsque k=0 sin(x)=sin(65π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=65π+2×0π6π+2×0π Donc : sin(x)=sin(65π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=65π6π Or 65π∈]−π;π] et 6π∈]−π;π]. On garde pour le moment les solutions 65π et 6π.
D'autre part , lorsque k=1 sin(x)=sin(65π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=65π+2×1π6π+2×1π Donc : sin(x)=sin(65π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=617π613π Or 617π∈/]−π;π] et 613π∈/]−π;π].
Finalement, les solutions de sin(x)=sin(65π) sur ]−π;π] sont :
S={6π;65π}
Vous faites varier les valeurs de k, tels que k≥2 ou k≤−1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle ]−π;π]
Question 3
2cos(x)−1=0
Correction
2cos(x)−1=0⇔cos(x)=21. Or cos(3π)=21, ainsi : cos(x)=cos(3π) cos(x)=cos(3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=3π+2kπ−3π+2kπ avec k∈Z. Ici, ce sont les solutions sur R. On va faire varier la valeur de k. Dans un premier temps on prendra k=0, puis k=1. En effet, avec ces deux valeurs de k, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle ]−π;π].
D'une part, lorsque k=0 cos(x)=cos(3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=3π+2×0π−3π+2×0π Donc : cos(x)=cos(3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=3π−3π Or 3π∈]−π;π] et −3π∈]−π;π]. On garde pour le moment les solutions −3π et 3π.
D'autre part, lorsque k=1 cos(x)=cos(3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=3π+2×1π−3π+2×1π Donc : cos(x)=cos(3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=37π35π Or 35π∈/]−π;π] et 37π∈/]−π;π].
Finalement, les solutions de cos(x)=cos(3π)sur ]−π;π] sont :
S={−3π;3π}
Si vous faites varier les valeurs de k, tels que k≥2 ou k≤−1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle ]−π;π]
Question 4
2sin(x)+2=0
Correction
2sin(x)+2=0⇔sin(x)=−22. Or sin(−4π)=−22, ainsi : sin(x)=sin(−4π) sin(x)=sin(−4π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−4π+2kππ−(−4π)+2kπ avec k∈Z. Enfin : sin(x)=sin(−4π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−4π+2kπ45π+2kπ avec k∈R. Ici, ce sont les solutions sur R. On va faire varier la valeur de k. Dans un premier temps on prendra k=0, puis k=−1. En effet, avec ces deux valeurs de k, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle ]−π;π].
D'une part, lorsque k=0 sin(x)=sin(−4π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−4π+2×0π45π+2×0π Donc : sin(x)=sin(−4π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−4π45π Or −4π∈]−π;π] et 45π∈/]−π;π]. On garde pour le moment la solution −4π.
D'autre part , lorsque k=−1 sin(x)=sin(−4π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−4π+2×(−1π)45π+2×(−1π) Donc : sin(x)=sin(−4π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−49π−43π Or −49π∈/]−π;π] et −43π∈]−π;π].
Finalement, les solutions de sin(x)=sin(−4π) sur ]−π;π] sont :
S={−43π;4π}
Si vous faites varier les valeurs de k, tels que k≥1 ou k≤−2, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle ]−π;π]
Question 5
cos(x)−23=0
Correction
cos(x)−23=0⇔cos(x)=23. Or cos(6π)=23, ainsi : cos(x)=cos(6π) cos(x)=cos(6π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=6π+2kπ−6π+2kπ avec k∈Z. Ici, ce sont les solutions sur R. On va faire varier la valeur de k. Dans un premier temps on prendra k=0, puis k=1. En effet, avec ces deux valeurs de k, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle ]−π;π].
D'une part , lorsque k=0 cos(x)=cos(6π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=6π+2×0π−6π+2×0π Donc : cos(x)=cos(6π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=6π−6π Or 6π∈]−π;π] et −6π∈]−π;π]. On garde pour le moment les solutions −6π et 6π.
D'autre part , lorsque k=1 cos(x)=cos(6π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=6π+2×1π−6π+2×1π Donc : cos(x)=cos(6π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=613π611π Or 613π∈/]−π;π] et 611π∈/]−π;π].
Finalement, les solutions de cos(x)=cos(6π)sur ]−π;π] sont :
S={−6π;6π}
Si vous faites varier les valeurs de k, tels que k≥2 ou k≤−1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle ]−π;π]
Question 6
−2sin(x)−3=0
Correction
−2sin(x)−3=0⇔sin(x)=−23. Or sin(−3π)=−23, ainsi : sin(x)=sin(−3π) sin(x)=sin(−3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−3π+2kππ−(−3π)+2kπ avec k∈Z. Enfin : sin(x)=sin(−3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−3π+2kπ34π+2kπ avec k∈Z. Ici, ce sont les solutions sur R. On va faire varier la valeur de k. Dans un premier temps on prendra k=0, puis k=1. En effet, avec ces deux valeurs de k, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle ]−π;π].
D'une part, lorsque k=0 sin(x)=sin(−3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−3π+2×0π34π+2×0π Donc : sin(x)=sin(−3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−3π34π Or −3π∈]−π;π] et 34π∈/]−π;π]. On garde pour le moment la solution −3π.
D'autre part, lorsque k=−1 sin(x)=sin(−3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−3π+2×(−1π)34π+2×(−1π) Donc : sin(x)=sin(−3π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−37π−32π Or −37π∈/]−π;π] et −32π∈]−π;π].
Finalement, les solutions de sin(x)=sin(−3π) sur ]−π;π] sont :
S={−32π;−3π}
Si vous faites varier les valeurs de k, tels que k≥1 ou k≤−2, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle ]−π;π]
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