Equations avec des cosinus et sinus - Fonctions trigonométriques - Spécialité

Question 1

Résoudre les équations suivantes sur

\mathbb{R}

.

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)$

Correction

\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{2} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{2} +2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Ainsi :

S=\left\{-\frac{\pi }{2} +2k\pi ;\frac{\pi }{2} +2k\pi \right\}

avec

k\in \mathbb{Z}

.

Question 2

$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)$

Correction

\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Finalement :

\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Ainsi :

S=\left\{\frac{\pi }{6} +2k\pi ;\frac{5\pi }{6} +2k\pi \right\}

avec

k\in \mathbb{Z}

.

Question 3

$2\cos \left(x\right)-1=0$

Correction

\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

2\cos \left(x\right)-1=0\Leftrightarrow 2\cos \left(x\right)=1\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\frac{1}{2}

.
Or

\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}

.
Cela nous ramène donc à résoudre :

\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)

.

\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Ainsi :

S=\left\{-\frac{\pi }{3} +2k\pi ;\frac{\pi }{3} +2k\pi \right\}

avec

k\in \mathbb{Z}

.

Question 4

$2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} =0$

Correction

\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} =0\Leftrightarrow 2\sin \left(x\right)=\sqrt{2} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)=\frac{\sqrt{2} }{2}

.
Or

\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}

.
Cela nous ramène donc à résoudre :

\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)

.

\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Finalement :

\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{3\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Ainsi :

S=\left\{\frac{\pi }{4} +2k\pi ;\frac{3\pi }{4} +2k\pi \right\}

avec

k\in \mathbb{Z}

.

Question 5

$-\cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} =0$

Correction

\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

-\cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} =0\Leftrightarrow -\cos \left(x\right)=\frac{\sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow \cos \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}

.
Or

\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)=\frac{-\sqrt{3} }{2}

Cela nous ramène donc à résoudre :

\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)

.

\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Ainsi :

S=\left\{-\frac{5\pi }{6} +2k\pi ;\frac{5\pi }{6} +2k\pi \right\}

avec

k\in \mathbb{Z}

Question 6

$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0$

Correction

\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

. Ce sont les solutions sur

\mathbb{R}

.

-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0\Leftrightarrow -2\sin \left(x\right)=\sqrt{3} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}

.
Or

\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}

.
Cela nous ramène donc à résoudre :

\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)

.

\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{3} \right)+2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Finalement :

\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.

avec

k\in \mathbb{Z}

.
Ainsi :

S=\left\{-\frac{\pi }{3} +2k\pi ;\frac{4\pi }{3} +2k\pi \right\}

avec

k\in \mathbb{Z}

.

Equations avec des cosinus et sinus - Exercice 1

cos⁡(x)=cos⁡(π2)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)cos(x)=cos(2π​)

sin⁡(x)=sin⁡(π6)\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)sin(x)=sin(6π​)

2cos⁡(x)−1=02\cos \left(x\right)-1=02cos(x)−1=0

2sin⁡(x)−2=02\sin \left(x\right)-\sqrt{2} =02sin(x)−2​=0

−cos⁡(x)−32=0-\cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} =0−cos(x)−23​​=0

−2sin⁡(x)−3=0-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0−2sin(x)−3​=0

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)$

$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)$

$2\cos \left(x\right)-1=0$

$2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} =0$

$-\cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} =0$

$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0$