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Comment étudier la parité d'une fonction - Exercice 3

10 min
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Question 1
Etudier la parité de chacune des fonctions suivantes définies sur R\mathbb{R} .

f(x)=2xcos⁡(x)f\left(x\right)=2x\cos \left(x\right)

Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=2×(−x)cos⁡(−x)f\left(-x\right)=2\times \left(-x\right)\cos \left(-x\right)
    f(−x)=−2xcos⁡(−x)f\left(-x\right)=-2x\cos \left(-x\right)
    f(−x)=−2xcos⁡(x)f\left(-x\right)=-2x\cos \left(x\right)
    f(−x)=−(2xcos⁡(x))f\left(-x\right)=-\left(2x\cos \left(x\right)\right)
    f(−x)=−(2xcos⁡(x))f\left(-x\right)=-\left(2x\cos \left(x\right)\right)
    f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
    • Question 2

    f(x)=x2sin⁡(x)f\left(x\right)=x^{2} \sin \left(x\right)

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=(−x)2sin⁡(−x)f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{2} \sin \left(-x\right)
    f(−x)=x2sin⁡(−x)f\left(-x\right)=x^{2} \sin \left(-x\right)
    f(−x)=x2×(−sin⁡(x))f\left(-x\right)=x^{2} \times \left(-\sin \left(x\right)\right)
    f(−x)=−x2sin⁡(x)f\left(-x\right)=-x^{2} \sin \left(x\right)
    f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
    • Question 3

    f(x)=x2cos⁡(x)f\left(x\right)=x^{2} \cos \left(x\right)

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=(−x)2cos⁡(−x)f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{2} \cos\left(-x\right)
    f(−x)=x2cos⁡(−x)f\left(-x\right)=x^{2} \cos \left(-x\right)
    f(−x)=x2cos⁡(x)f\left(-x\right)=x^{2} \cos \left(x\right)
    f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction paire.
  • La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

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