Fonctions trigonométriques

Comment étudier la parité d'une fonction - Exercice 2

10 min
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Question 1
Parmi les fonctions suivantes définies sur R\mathbb{R}, lesquelles sont paires? Impaires?

f(x)=x3+2sin⁡(x)f\left(x\right)=x^{3}+2\sin \left(x\right)

Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=(−x)3+2sin⁡(−x)f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{3}+2\sin \left(-x\right)
    f(−x)=(−x)×(−x)2+2×(−sin⁡(x))f\left(-x\right)=\left(-x\right)\times \left(-x\right)^{2} +2\times \left(-\sin \left(x\right)\right)
    f(−x)=(−x)×x2−2sin⁡(x)f\left(-x\right)=\left(-x\right)\times x^{2} -2\sin \left(x\right)
    f(−x)=−x3−2sin⁡(x)f\left(-x\right)=-x^{3} -2\sin \left(x\right)
    f(−x)=−(x3+2sin⁡(x))f\left(-x\right)=-\left(x^{3} +2\sin \left(x\right)\right)
    f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
    • Question 2

    f(x)=53(7cos⁡(x)−2)f\left(x\right)=\frac{5}{3} \left(7\cos \left(x\right)-2\right)

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=53(7cos⁡(−x)−2)f\left(-x\right)=\frac{5}{3} \left(7\cos \left(-x\right)-2\right)
    f(−x)=53(7cos⁡(x)−2)f\left(-x\right)=\frac{5}{3} \left(7\cos \left(x\right)-2\right)
    f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction paire.
  • La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    • Question 3

    f(x)=23+4cos⁡(x)f\left(x\right)=\frac{2}{3+4\cos \left(x\right)}

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=23+4cos⁡(−x)f\left(-x\right)=\frac{2}{3+4\cos \left(-x\right)}
    f(−x)=23+4cos⁡(x)f\left(-x\right)=\frac{2}{3+4\cos \left(x\right)}
    f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction paire.
  • La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    • Question 4

    f(x)=sin⁡2(x)−7cos⁡(x)f\left(x\right)=\sin ^{2} \left(x\right)-7\cos \left(x\right)

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=sin⁡2(−x)−7cos⁡(−x)f\left(-x\right)=\sin ^{2} \left(-x\right)-7\cos \left(-x\right)
    f(−x)=(sin⁡(−x))2−7cos⁡(−x)f\left(-x\right)=\left(\sin \left(-x\right)\right)^{2} -7\cos \left(-x\right)
    f(−x)=(−sin⁡(x))2−7cos⁡(x)f\left(-x\right)=\left(-\sin \left(x\right)\right)^{2} -7\cos \left(x\right)
    f(−x)=(sin⁡(x))2−7cos⁡(x)f\left(-x\right)=\left(\sin \left(x\right)\right)^{2} -7\cos \left(x\right)
    f(−x)=sin⁡2(x)−7cos⁡(x)f\left(-x\right)=\sin ^{2} \left(x\right)-7\cos \left(x\right)
    f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction paire.
  • La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.