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Comment étudier la parité d'une fonction - Exercice 1

20 min
30

Question 1
Etudiez la parité des fonctions suivantes :

f(x)=2cos⁡(x)−x2f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-x^{2}

Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=2cos⁡(−x)−(−x)2f\left(-x\right)=2\cos \left(-x\right)-\left(-x\right)^{2} équivaut successivement à
    f(−x)=2cos⁡(x)−x2f\left(-x\right)=2\cos \left(x\right)-x^{2}
    f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction paire.
  • La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    • Question 2

    f(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)f\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=cos⁡(−x)sin⁡(−x)f\left(-x\right)=\frac{\cos \left(-x\right)}{\sin \left(-x\right)} équivaut successivement à
    f(−x)=cos⁡(x)−sin⁡(x)f\left(-x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{-\sin \left(x\right)}
    f(−x)=−cos⁡(x)sin⁡(x)f\left(-x\right)=-\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}
    f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
    • Question 3

    f(x)=tan⁡2(x)f\left(x\right)=\tan ^{2} \left(x\right)

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • f(x)=tan⁡2(x)f\left(x\right)=\tan ^{2} \left(x\right) peut également s'écrire f(x)=sin⁡2(x)cos⁡2(x)f\left(x\right)=\frac{\sin ^{2} \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)} .
    Ainsi :
    f(−x)=sin⁡2(−x)cos⁡2(−x)f\left(-x\right)=\frac{\sin ^{2} \left(-x\right)}{\cos ^{2} \left(-x\right)} équivaut successivement à
    f(−x)=(sin⁡(−x))2(cos⁡(−x))2f\left(-x\right)=\frac{\left(\sin \left(-x\right)\right)^{2} }{\left(\cos \left(-x\right)\right)^{2} }
    f(−x)=(−sin⁡(x))2(cos⁡(x))2f\left(-x\right)=\frac{\left(-\sin \left(x\right)\right)^{2} }{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }
    f(−x)=(sin⁡(x))2(cos⁡(x))2f\left(-x\right)=\frac{\left(\sin \left(x\right)\right)^{2} }{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }
    Enfin :
    f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction paire.
  • La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    • Question 4

    f(x)=2cos⁡(x)−3sin⁡(x)f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-3\sin \left(x\right)

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=2cos⁡(−x)−3sin⁡(−x)f\left(-x\right)=2\cos \left(-x\right)-3\sin \left(-x\right)
    f(−x)=2cos⁡(x)−3×(−sin⁡(x))f\left(-x\right)=2\cos \left(x\right)-3\times \left(-\sin \left(x\right)\right)
    f(−x)=2cos⁡(x)+3sin⁡(x)f\left(-x\right)=2\cos \left(x\right)+3\sin \left(x\right)
    f(−x)=2cos⁡(x)+3sin⁡(x)f\left(-x\right)=2\cos \left(x\right)+3\sin \left(x\right)
    Ici
    f(−x)≠f(x)f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)
    et
    f(−x)≠−f(x)f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)

    La fonction ff n'est ni paire ni impaire.
    Question 5

    f(x)=sin⁡(x−π)+cos⁡(−x)f\left(x\right)=\sin \left(x-\pi \right)+\cos \left(-x\right)

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=sin⁡(−x−π)+cos⁡(−x)f\left(-x\right)=\sin \left(-x-\pi \right)+\cos \left(-x\right) équivaut successivement à :
    f(−x)=sin⁡(−(x+π))+cos⁡(−x)f\left(-x\right)=\sin \left(-\left(x+\pi \right)\right)+\cos \left(-x\right)
    f(−x)=−sin⁡(x+π)+cos⁡(x)f\left(-x\right)=-\sin \left(x+\pi \right)+\cos \left(x\right) car sin⁡(−(x+π))=−sin⁡(x+π)\sin \left(-\left(x+\pi \right)\right)=-\sin \left(x+\pi \right)
    Ici
    f(−x)≠f(x)f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)
    et
    f(−x)≠−f(x)f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)

    La fonction ff n'est ni paire ni impaire.
    Question 6

    f(x)=2sin⁡(x)−3sin⁡(x2)f\left(x\right)=2\sin \left(x\right)-3\sin \left(\frac{x}{2} \right)

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=2sin⁡(−x)−3sin⁡(−x2)f\left(-x\right)=2\sin \left(-x\right)-3\sin \left(\frac{-x}{2} \right)
    f(−x)=−2sin⁡(x)−3×(−sin⁡(x2))f\left(-x\right)=-2\sin \left(x\right)-3\times \left(-\sin \left(\frac{x}{2} \right)\right)
    f(−x)=−2sin⁡(x)+3sin⁡(x2)f\left(-x\right)=-2\sin \left(x\right)+3\sin \left(\frac{x}{2} \right)
    f(−x)=−(2sin⁡(x)−3sin⁡(x2))f\left(-x\right)=-\left(2\sin \left(x\right)-3\sin \left(\frac{x}{2} \right)\right)
    f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

    La fonction ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
    • Question 7

    f(x)=−cos⁡(3x)sin⁡(2x)f\left(x\right)=-\cos \left(3x\right)\sin \left(2x\right)

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=−cos⁡(3×(−x))sin⁡(2×(−x))f\left(-x\right)=-\cos \left(3\times \left(-x\right)\right)\sin \left(2\times \left(-x\right)\right)
    f(−x)=−cos⁡(−3x)sin⁡(−2x)f\left(-x\right)=-\cos \left(-3x\right)\sin \left(-2x\right)
    f(−x)=−cos⁡(3x)×(−sin⁡(2x))f\left(-x\right)=-\cos \left(3x\right)\times \left(-\sin \left(2x\right)\right)
    f(−x)=cos⁡(3x)×sin⁡(2x)f\left(-x\right)=\cos \left(3x\right)\times \sin \left(2x\right)
    f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

    La fonction ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
    • Question 8

    f(x)=sin⁡(x)+3xf\left(x\right)=\sin \left(x\right)+3x

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=sin⁡(−x)+3×(−x)f\left(-x\right)=\sin \left(-x\right)+3\times \left(-x\right)
    f(−x)=−sin⁡(x)−3xf\left(-x\right)=-\sin \left(x\right)-3x
    f(−x)=−(sin⁡(x)+3x)f\left(-x\right)=-\left(\sin \left(x\right)+3x\right)
    f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

    La fonction ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.