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Fonction exponentielle

Variations avec des fonctions de la forme x↦eax+bx\mapsto e^{ax+b} - Exercice 1

10 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=e3xf\left(x\right)=e^{3x}

Déterminer la fonction dérivée f′f' de ff .

Correction
  • (eax+b)′=aeax+b\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    f(x)=e3xf\left(x\right)=e^{{\color{blue}3}x}
    Ici nous avons a=3{\color{blue}a=3} et b=0{\color{red}b=0} .
    Ainsi :
    f′(x)=3×e3xf'\left(x\right)={\color{blue}3}\times e^{{\color{blue}3}x}
    D'où
    f′(x)=3e3xf'\left(x\right)=3e^{3x}
    Question 2

    Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) .

    Correction
    Nous savons que f′(x)=3e3xf'\left(x\right)=3e^{3x}
    Pour tout réel x∈Rx\in \mathbb{R} , on sait que e3x>0e^{3x}>0 . De plus 3>03>0 . Il en résulte donc que pour tout réel xx, on a : f′(x)>0f'\left(x\right)>0 .
    Question 3

    En déduire les variations de ff sur R\mathbb{R} .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Nous allons dresser le tableau de variation de ff.