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Fonction exponentielle

Utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle - Exercice 2

5 min

Question 1

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=\left(\frac{e^{x} +e^{-x} }{2} \right)^{2} -\left(\frac{e^{x} -e^{-x} }{2} \right)^{2}$
Démontrer que $f$ est une fonction constante sur $\mathbb{R}$ .

Correction

f\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2e^{x} e^{-x} +e^{-2x} }{4} -\frac{e^{2x} -2e^{x} e^{-x} +e^{-2x} }{4}

équivaut successivement à :

f\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2e^{x-x} +e^{-2x} }{4} -\frac{e^{2x} -2e^{x-x} +e^{-2x} }{4}

f\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2e^{0} +e^{-2x} }{4} -\frac{e^{2x} -2e^{0} +e^{-2x} }{4}

. Or

e^{0}=1

f\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2+e^{-2x} }{4} -\frac{e^{2x} -2+e^{-2x} }{4}

f\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2+e^{-2x}-e^{2x} +2-e^{-2x} }{4}

f\left(x\right)=\frac{4 }{4}

Ainsi :

f\left(x\right)=1

Ce qui permet d'affirmer que

f

est une fonction constante sur

\mathbb{R}