Utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle - Exercice 2

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Question 1

Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(ex+e−x2)2−(ex−e−x2)2f\left(x\right)=\left(\frac{e^{x} +e^{-x} }{2} \right)^{2} -\left(\frac{e^{x} -e^{-x} }{2} \right)^{2}
Démontrer que ff est une fonction constante sur R\mathbb{R}.

Correction
f(x)=e2x+2exe−x+e−2x4−e2x−2exe−x+e−2x4f\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2e^{x} e^{-x} +e^{-2x} }{4} -\frac{e^{2x} -2e^{x} e^{-x} +e^{-2x} }{4} équivaut successivement à :
f(x)=e2x+2ex−x+e−2x4−e2x−2ex−x+e−2x4f\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2e^{x-x} +e^{-2x} }{4} -\frac{e^{2x} -2e^{x-x} +e^{-2x} }{4}
f(x)=e2x+2e0+e−2x4−e2x−2e0+e−2x4f\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2e^{0} +e^{-2x} }{4} -\frac{e^{2x} -2e^{0} +e^{-2x} }{4} . Or e0=1e^{0}=1
f(x)=e2x+2+e−2x4−e2x−2+e−2x4f\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2+e^{-2x} }{4} -\frac{e^{2x} -2+e^{-2x} }{4}
f(x)=e2x+2+e−2x−e2x+2−e−2x4f\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2+e^{-2x}-e^{2x} +2-e^{-2x} }{4}
f(x)=44f\left(x\right)=\frac{4 }{4}
Ainsi :
f(x)=1f\left(x\right)=1

Ce qui permet d'affirmer que ff est une fonction constante sur R\mathbb{R}.

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