Sujet Polynésie – 4 septembre 2026 - Exercice 1

$$f\left(0\right)=\left(0^{2}+0+1\right)e^{0}=1\times 1$$ d'où
Juste après l'injection, la concentration du médicament dans le sang est de $$1$$ g/L.

$$f$$ est dérivable sur $$\left[0;13\right]$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(t\right)=t^{2}+t+1$$ et $$v\left(t\right)=e^{-t}$$.
Ainsi $$u'\left(t\right)=2t+1$$ et $$v'\left(t\right)=-e^{-t}$$ (forme $$e^{at+b}$$ avec $${\color{blue}a=-1}$$ et $${\color{red}b=0}$$).
Il vient alors que :
$$f'\left(t\right)=\left(2t+1\right)e^{-t}+\left(t^{2}+t+1\right)\times\left(-e^{-t}\right)$$
Ici, nous allons factoriser par $$e^{-t}$$. Ce qui nous donne :
$$f'\left(t\right)={\color{blue}{e^{-t}}}\left(2t+1-t^{2}-t-1\right)$$
$$f'\left(t\right)=e^{-t}\left(-t^{2}+t\right)$$
On factorise enfin $$-t^{2}+t$$ par $$t$$ : $$-t^{2}+t=t\left(-t+1\right)$$.
D'où :

Étudions le signe de chaque facteur sur $$\left[0;13\right]$$ :

• $$t\geqslant 0$$ sur $$\left[0;13\right]$$, et $$t$$ ne s'annule que pour $$t=0$$ ;
• $$-t+1\geqslant 0\Leftrightarrow -t\geqslant -1\Leftrightarrow t\leqslant 1$$. Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-t+1$$ lorsque $$t$$ sera inférieur ou égal à $$1$$.

On en déduit le tableau de signe suivant :Ainsi :

Pour tout réel $$t$$, on a $$e^{-t}\gt 0$$ : $$f'\left(t\right)$$ a donc le même signe que $$t\left(-t+1\right)$$.
Il en résulte donc que :

• si $$t\in\left[0;1\right]$$ alors $$f'\left(t\right)\geqslant 0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$t\in\left[1;13\right]$$ alors $$f'\left(t\right)\leqslant 0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :Interprétation : la concentration du médicament augmente pendant la première heure, est maximale au bout d'une heure, puis diminue.

Le médicament reste actif tant que $$f\left(t\right)\geqslant 0{,}1$$.
D'après la question précédente, $$f$$ est croissante sur $$\left[0;1\right]$$ (avec $$f\left(0\right)=1$$) puis décroissante sur $$\left[1;13\right]$$ : une fois passée sous $$0{,}1$$ g/L, la concentration ne remonte plus.
D'après le tableau de valeurs :

• $$f\left(6\right)\approx 0{,}107$$ et $$0{,}107\geqslant 0{,}1$$ : au bout de $$6$$ heures, le médicament est encore actif ;
• $$f\left(7\right)\approx 0{,}052$$ et $$0{,}052\lt 0{,}1$$ : au bout de $$7$$ heures, il ne l'est plus.

Ainsi :
Le médicament reste actif pendant $$6$$ heures (en nombre entier d'heures) : il faut faire une nouvelle injection entre $$6$$ et $$7$$ heures après la première.