Sujet Polynésie – 12 juin 2026 - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x+1$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x}$$.
Pour dériver $$v$$ : $$v\left(x\right)=e^{{\color{blue}-1}x+{\color{red}0}}$$, ici nous avons $${\color{blue}a=-1}$$ et $${\color{red}b=0}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\times e^{-x}+\left(\dfrac{1}{2}x+1\right)\times\left(-e^{-x}\right)$$
$$f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}e^{-x}-\dfrac{1}{2}xe^{-x}-e^{-x}$$
Ici, nous allons factoriser par $$e^{-x}$$. Ce qui nous donne :
$$f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}x-1\right)$$
D'où :

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=\left(-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\right)e^{-x}$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{-x}\gt 0$$ : le signe de $$f'\left(x\right)$$ est donc celui de $$-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$$.
$$-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\geqslant 0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}x\geqslant\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x\leqslant -1$$ (on multiplie par $$-2$$, qui est négatif : le sens de l'inégalité change)
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égal à $$-1$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-1\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\geqslant 0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-1;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\leqslant 0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :De plus :
$$f\left(-1\right)=\left(\dfrac{1}{2}\times\left(-1\right)+1\right)e^{-\left(-1\right)}$$
$$f\left(-1\right)=\dfrac{1}{2}e^{1}$$ qui s'écrit également : $$f\left(-1\right)=\dfrac{e}{2}$$

D'après le tableau de variation, $$f$$ admet un maximum en $$x=-1$$, égal à $$f\left(-1\right)=\dfrac{e}{2}$$.
Pour tout réel $$x$$, on a donc $$f\left(x\right)\leqslant\dfrac{e}{2}$$.
Or, d'après l'aide aux calculs, $$e\approx 2{,}7$$ donc $$\dfrac{e}{2}\approx 1{,}35$$ et $$\dfrac{e}{2}\lt 2$$.
Il en résulte donc que, pour tout réel $$x$$ : $$f\left(x\right)\leqslant\dfrac{e}{2}\lt 2$$.Ainsi :

On sait que la formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse $$0$$ est : $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
D'une part :
$$f\left(x\right)=\left(\dfrac{1}{2}x+1\right)e^{-x}$$ alors $$f\left(0\right)=\left(\dfrac{1}{2}\times 0+1\right)e^{0}=1$$
D'autre part :
$$f'\left(x\right)=\left(-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\right)e^{-x}$$ alors $$f'\left(0\right)=\left(-\dfrac{1}{2}\times 0-\dfrac{1}{2}\right)e^{0}=-\dfrac{1}{2}$$

Ainsi : $$y=-\dfrac{1}{2}\left(x-0\right)+1$$
Enfin :

Le point $$M\left(0;1\right)$$ appartient à $$\left(\mathcal{C}_g\right)$$, donc $$g\left(0\right)=1$$.
Or $$g\left(0\right)=0{,}5\times 0^{2}+b\times 0+c=c$$.
Il en résulte donc que :

Les deux courbes ont la même tangente au point d'abscisse $$0$$ : leurs tangentes en ce point ont le même coefficient directeur, donc $$g'\left(0\right)=f'\left(0\right)$$.
D'une part :
d'après la question 4, $$f'\left(0\right)=-\dfrac{1}{2}$$
D'autre part :
$$g\left(x\right)=0{,}5x^{2}+bx+c$$ alors $$g'\left(x\right)=0{,}5\times 2x+b=x+b$$ et $$g'\left(0\right)=b$$

$$g'\left(0\right)=f'\left(0\right)$$ équivaut à : $$b=-\dfrac{1}{2}$$
Ainsi :
On a donc $$g\left(x\right)=0{,}5x^{2}-0{,}5x+1$$. Vérification : $$g\left(3\right)=4{,}5-1{,}5+1=4$$, ce qui correspond bien à l'extrémité de la courbe.