Sujet Asie – 15 juin 2026 (exercice 1, partie B) - Exercice 1

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Un lac qui alimente une région en électricité voit son niveau d'eau baisser depuis le début des années 20002000.
En 20202020, le niveau du lac était d'environ 1 1001\,100 mètres au-dessus du niveau de la mer.
En dessous de 1 0201\,020 mètres, le niveau du lac est insuffisant pour permettre la production d'énergie hydroélectrique.
Dans cette partie, l'évolution du niveau du lac est modélisée par une fonction ff définie sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ par :
f(t)=1 050e−0,01t+50f(t)=1\,050e^{-0{,}01t}+50
où f(t)f(t) est le niveau du lac en mètres et tt le temps écoulé en années, depuis 20202020.
Question 1

Le modèle proposé est-il cohérent avec le niveau du lac en 20202020 ?
Justifier votre réponse.

Correction
L'année 20202020 correspond à t=0t=0.
f(0)=1 050e−0,01×0+50=1 050e0+50=1 050×1+50f\left(0\right)=1\,050e^{-0{,}01\times 0}+50=1\,050e^{0}+50=1\,050\times 1+50 d'où
f(0)=1 100f\left(0\right)=1\,100

On retrouve le niveau du lac en 20202020, environ 1 1001\,100 mètres : le modèle est cohérent.
Question 2

Montrer que, pour tout réel tt de l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[, f′(t)=−10,5e−0,01tf'(t)=-10{,}5e^{-0{,}01t}.

Correction
  • (eax+b)′=aeax+b\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
    • ff est dérivable sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[.
    f(t)=1 050e−0,01t+50f\left(t\right)=1\,050e^{{\color{blue}-0{,}01}t}+50
    Ici nous avons a=−0,01{\color{blue}a=-0{,}01} et b=0{\color{red}b=0}. La constante 5050 a pour dérivée 00.
    Ainsi :
    f′(t)=1 050×(−0,01)×e−0,01t+0f'\left(t\right)=1\,050\times\left({\color{blue}-0{,}01}\right)\times e^{{\color{blue}-0{,}01}t}+0
    D'où
    f′(t)=−10,5e−0,01tf'\left(t\right)=-10{,}5e^{-0{,}01t}
    Question 3

    En déduire le sens de variation de la fonction ff sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[.
    Justifier.

    Correction
    • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}\gt 0
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Pour tout réel t⩾0t\geqslant 0, e−0,01t>0e^{-0{,}01t}\gt 0 et −10,5<0-10{,}5\lt 0. Par produit, f′(t)<0f'\left(t\right)\lt 0.
    Il en résulte donc que :
    ff est strictement décroissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[.
    Selon ce modèle, le niveau du lac baisse continuellement.
    Question 4

    On donne ci-dessous Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction ff dans un repère orthogonal.
    Lire, avec la précision permise par le graphique, l'année à partir de laquelle le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique.

    Correction
    Le niveau est insuffisant lorsqu'il passe en dessous de 1 0201\,020 mètres. On trace la droite horizontale d'équation y=1 020y=1\,020 et on lit l'abscisse de son point d'intersection avec Cf\mathcal{C}_f :
    On lit t≈8t\approx 8 ; au-delà, la courbe est en dessous de cette droite (la fonction ff est décroissante).
    Or 2020+8=20282020+8=2028.
    Ainsi :
    Le niveau du lac sera insuffisant à partir de 20282028.

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