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Fonction exponentielle

Sommes nous à l'aise avec les formules usuelles des exponentielles - Exercice 1

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Question 1

Montrer que, pour tout réel xx, on a : e−7x(e2x(e3x)2−(e−2x)2)=0e^{-7x} \left(\frac{e^{2x} }{\left(e^{3x} \right)^{2} } -\left(e^{-2x} \right)^{2} \right)=0

Correction
  • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
  • eaeb=ea−b\frac{e^{a} }{e^{b} } =e^{a-b}
  • (ea)b=ea×b\left(e^{a} \right)^{b} =e^{a\times b}
  • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
e−7x(e2x(e3x)2−(e−2x)2)=e−7x(e2xe3x×2−e−2x×2)e^{-7x} \left(\frac{e^{2x} }{\left(e^{3x} \right)^{2} } -\left(e^{-2x} \right)^{2} \right)=e^{-7x} \left(\frac{e^{2x} }{e^{3x\times 2} } -e^{-2x\times 2} \right) équivaut successivement à
e−7x(e2x(e3x)2−(e−2x)2)=e−7x(e2xe6x−e−4x)e^{-7x} \left(\frac{e^{2x} }{\left(e^{3x} \right)^{2} } -\left(e^{-2x} \right)^{2} \right)=e^{-7x} \left(\frac{e^{2x} }{e^{6x} } -e^{-4x} \right)
e−7x(e2x(e3x)2−(e−2x)2)=e−7x(e2x−6x−e−4x)e^{-7x} \left(\frac{e^{2x} }{\left(e^{3x} \right)^{2} } -\left(e^{-2x} \right)^{2} \right)=e^{-7x} \left(e^{2x-6x} -e^{-4x} \right)
e−7x(e2x(e3x)2−(e−2x)2)=e−7x(e−4x−e−4x)e^{-7x} \left(\frac{e^{2x} }{\left(e^{3x} \right)^{2} } -\left(e^{-2x} \right)^{2} \right)=e^{-7x} \left(e^{-4x} -e^{-4x} \right)
e−7x(e2x(e3x)2−(e−2x)2)=e−7x×0e^{-7x} \left(\frac{e^{2x} }{\left(e^{3x} \right)^{2} } -\left(e^{-2x} \right)^{2} \right)=e^{-7x} \times 0
Ainsi :
e−7x(e2x(e3x)2−(e−2x)2)=0e^{-7x} \left(\frac{e^{2x} }{\left(e^{3x} \right)^{2} } -\left(e^{-2x} \right)^{2} \right)=0